Enunciado

Um elétron é liberado a partir do repouso a uma distância perpendicular de 9,0 cm de uma barra não condutora retilínea muito longa com uma densidade de cargas uniforme de 6,0 μC por metro. Qual é o módulo da aceleração inicial do elétron?

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Temos o seguinte problema para resolver: Descobrir a aceleração de um elétron, pela atuação do campo elétrico gerado por uma barra não condutora retilínea muito longa, com a densidade de carga λ = 6,0 μC, afastada a uma distância d = 9,0 cm do elétron.

Em primeiro lugar vamos encontrar o campo elétrico e após isso usar a segunda lei de newton pra relacionar esse campo com a aceleração e substituir então os valores, ok?

Passo 2

Vamos primeiramente descobrir o campo elétrico gerado por essa barra.

Para isso, vamos usar a Lei de Gauss com uma superfície cilíndrica como superfície gaussiana ao redor da barra.

∫ E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

Por serem constantes, o campo e a área saem da integral:

E ∙ A = q i n t ϵ 0

Onde a área é a área lateral do cilindro da superfície gaussiana.

E ∙ 2 π r L = q i n t ϵ 0

E a carga interna pode ser escrita em termos da densidade linear de cargas:

λ = q i n t L

q i n t = λ L

E substituindo na equação que veio da Lei de Gauss, teremos:

E ∙ 2 π r L = λ L ϵ 0

E = λ 2 π ε 0 r

Passo 3

Agora, podemos utilizar a segunda lei de newton e a definição do campo elétrico para achar a aceleração:

F = m a

F e = q E

Como trata-se de um elétron, a carga será a carga elementar q = e

F e = e E

Igualando essa força na segunda lei de newton, teremos:

e E = m a

E isolando a , temos:

a = e E m

Substituindo o campo elétrico:

a = e m λ 2 π ε 0 r

Passo 4

Agora chegamos numa expressão final pra aceleração e aqui é só substituirmos os valores:

e = 1,6 × 10 - 19 C

λ = 6,0 × 10 - 6 C / m

m = 9,1 × 10 - 31 k g

ε 0 = 8,85 × 10 - 12 N m 2 / C 2

Repara que r é o raio do cilindro da Gaussiana, e será também a distância entre a barra e o ponto onde calculamos o campo elétrico (aonde estava o elétron).

r = 9,0 c m = 9 ∙ 10 - 2 m

Substituindo todo mundo temos:

a = 1,6 ∙ 10 - 19 9,1 ∙ 10 - 31 6,0 ∙ 10 - 6 2 π 8,85 ∙ 10 - 12 9 ∙ 10 - 2

= 2,1 × 10 17 m / s 2

Resposta

a = 2,1 × 10 17 m / s 2

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