Enunciado

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2.15 Uma tartaruga se arrasta em linha reta, à qual chamaremos de eixo O x com a direção positiva para a direita. A equação para a posição da tartaruga em função do tempo é x ( t )   =   50,0   c m   +   ( 2,0   c m / s ) t   ( 0,0625   c m / s ²   ) t ² . a) Determine a velocidade inicial, a posição inicial e a aceleração inicial da tartaruga. b) Em qual instante t   a velocidade da tartaruga é zero? c) Quanto tempo do ponto inicial a tartaruga leva para retornar ao ponto de partida? d) Em qual instante t a tartaruga está a uma distância de 10,0 cm do ponto inicial? Qual é a velocidade (módulo e direção) da tartaruga em cada um desses instantes? e) Desenhe um gráfico de x versus t , v x versus t e a x versus t , para o intervalo de tempo   t 0   até t   =   40   s .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Essa questãozinha é grande, mas nada que assuste a gente, bora lá!!!

Na letra a) o enunciado nos dá a função do tempo:

x ( t )   =   50,0   cm   +   ( 2,0  cm/s ) t   -   ( 0,0625  cm/s²   ) t ²

E quer saber a velocidade inicial e a aceleração inicial.

Pera que essa fórmula do enunciado lembra do querido “sorvetão”:

S t = S 0 + v 0 t + a 0 t 2 2

Onde, temos que

S t = x t

S 0 = 50,0   c m

v 0 = 2,0   c m / s

a 0 2 = - 0,0625 c m / s 2 → a 0 = - 0,125   c m / s 2

E só ver que na função, quem acompanha “ t ” é a velocidade inicial e quem acompanha “ t ² ” é a metade da aceleração inicial.

Bora pra próxima, meu povo!!!

Passo 2

Pra fazer o ítem b) quer saber em qual instante t   a velocidade da tartaruga é zero, então temos que usar a nossa fórmula para a velocidade:

v = v 0 + a 0 t

Lembrando que no Passo 1, vimos que v 0 = 2,0   c m / s . Substituindo,

0 = 2   cm/s - 0,125 cm/s² t

t = 2 0,125

t = 16   s

Então o tempo é 16 segundos, meus amigos!!

Bora pra letra c)!!

Passo 3

Na letra c), ele pergunta quanto tempo do ponto inicial a tartaruga leva para retornar ao ponto de partida.

Então nessa vamos aplicar o nosso “sorvetão”, mas agora com S igual a 50   cm , que é o ponto inicial, logo:

50   cm =   50,0   c m + 2,0   cm/s t - 0,0625   cm/s² t 2

2 t - 0,0625 t 2 = 0

t 2 - 0,0625 t = 0

Temos duas soluções aqui. Tem o t = 0 , e também tem:

0,0625 t = 2

t = 2 0,0625

t = 32   s

Nesse caso o tempo é igual a 32 segundos, pois significa que ela foi e voltou.

Bora pra próxima!!!

Passo 4

Na letra d) a tartaruga está a 10   cm do ponto inicial, que é 50   cm . Ou seja, ela está a 60   cm ou a 40   cm !!!!

Agora é só usar nosso “sorvetão” de novo ahaha, mas com S = 60   cm .

60   cm =   50,0   c m + 2,0   cm/s t - 0,0625   cm/s² t 2

- 0,0625   cm/s² t 2 + 2,0   cm/s t - 10   c m = 0

Realizando a fórmula de Báskara, encontramos t = 6,20   s ou t = 25,8   s .

Agora com S   =   40   cm temos:

40   cm =   50,0   c m   +   ( 2,0   c m / s ) t   -   ( 0,0625   c m / s ²   ) t ²

- 0,0625   cm/s² t 2 + 2,0   cm/s t + 10   c m = 0

Dessa vez temos   t = 36,4   s , porque não existe tempo negativo ahaha.

A velocidade dela nesses instantes vai ser:

1º) t = 6,20   s :

v = v 0 + a t

v = 2   c m / s - 0,125   c m / s ² 6,20

v = 1,23   c m / s

2º) t = 25,8   s :

v = v 0 + a t

v = 2   c m / s - 0,125   c m / s ² 25,8

v = - 1,23   c m / s

3º) t = 36,4   s :

v = v 0 + a t

v = 2   c m / s - 0,125 c m / s ² 36,4

v = - 2,55   c m / s

Passo 5

e) Desenhe um gráfico de x versus t, v x versus t e a x versus t , para o intervalo de tempo t 0 até t   =   40   s .

Primeiro, vamos pensar na aceleração. Ao longo de todo o tempo, ela mantém um valor constante igual a -   0,125   c m / s ² .

Já a velocidade começa em   2,0   c m / s , ou seja, no início é positiva, mas depois, como a aceleração é negativa, a velocidade vai diminuindo, então o gráfico dela vai ser uma reta decrescente.

Já a posição em função do tempo é descrita por essa equação:

S t = S 0 + v 0 t + a 0 t 2 2

Que é a uma função do segundo grau, ou seja, o gráfico é uma parábola, como a aceleração é negativa, temos que a concavidade é voltada para baixo.

Resposta

a) S 0 = 50,0   c m

v 0 = 2,0   c m / s

a 0 = - 0,125   c m / s 2

b)

t = 16   s

c)

t = 32   s

d)

t = 6,20   s → v = 1,23   c m / s

t = 25,8   s → v = - 1,23   c m / s

t = 36,4   s → v = - 2,55   c m / s

e)

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