Enunciado

33. a . A FIGURA EX4.33a mostra a velocidade angular em função do tempo. Desenhe o correspondente gráfico da aceleração angular versus tempo.

b . A FIGURA EX.33B mostra a aceleração angular em função do tempo. Desenhe o correspondente gráfico da velocidade angular versus tempo. Considere ω 0 = 0 .

Passo 1

Para fazer o gráfico que é pedido no item ( a ) primeiro vamos analisar o comportamento do gráfico que temos, pois assim podemos encontrar a aceleração angular, já que:

Δ ω = α Δ t

α = Δ ω Δ t

A partir disso podemos saber a aceleração angular do eixo em um intervalo de tempo.

Para fazer o gráfico da velocidade angular pedido em ( b ) podemos usar o seguinte:

α = d ω d t

⇒ d ω = α d t

Assim temos que:

ω = ∫ α   d t

Assim encontramos uma função ω ( t ) e podemos montar o gráfico.

Mas para isso precisamos uma função α ( t ) , temos que de t = 0 até t = 2   s e de t = 2   s até t = 4   s temos um comportamento linear de α , logo podemos encontrar a função que define essas duas partes do gráfico assim:

α - α 0 = Δ α Δ t ( t - t 0 )

Para a primeira parte, para a segunda temos:

α - α 0 = - Δ α Δ t ( t - t 0 )

Passo 2

Vamos começar nos dedicando a encontrar o gráfico pedido em ( a ) , podemos analisar o gráfico do enunciado da seguinte forma:

Temos que de t = 0 até t = 2   s temos uma variação da velocidade angular de 1 0   r a d / s , assim temos que α = 5   r a d / s 2 .

De t = 2   s até t = 4   s temos uma variação da velocidade angular de - 1 0   r a d / s , assim temos que α = - 5   r a d / s 2 .

Com essa análise temos que o nosso gráfico fica da seguinte forma:

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Vamos então encontrar a função para α de t = 0 até t = 2   s , temos:

α - 0 = 10 2 ( t - 0 )

⇒ α = 5 t

Agora podemos encontrar uma função para ω , temos:

ω = ∫ α   d t

⇒ ω t = ∫ 5 t   d t

Temos então que:

ω t = 5 t 2 2 + ω 0

Onde esse ω 0 é igual a velocidade angular em t = 0 , como o enunciado diz temos que em ω 0 = 0 , logo ω 0 = 0 .

⇒ ω t = 2,5 t 2

Agora para t = 2   s até t = 4   s , temos:

α - 0 = - 10 2 ( t - 4 )

⇒ α = - 5 t + 20

Agora podemos encontrar uma função para ω , temos:

ω = ∫ α   d t

⇒ ω t = ∫ ( - 5 t + 20 )   d t

Temos então que:

ω t = - 5 t 2 2 + 20 t + ω 0

Onde esse ω 0 é igual a velocidade angular em t = 2   s que é onde a segunda parte do gráfico começa.

Utilizando a expressão que encontramos antes temos que ω 2 = 10 , assim temos o seguinte

10 = - 2,5 2 2 + 20 2 + ω 0

⇒ 10 = - 10 + 40 + ω 0

⇒ ω 0 = - 20

Com isso temos que:

ω t = - 2,5 t 2 + 20 t - 20

Então sabendo disso temos que o nosso gráfico fica da seguinte forma:

Resposta

( a )

( b )

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