Enunciado

34 . Um cubo possui arestas com comprimento L = 0,300   m e é colocado com um dos vértices na origem, como indica a Figura E 22.6 . O campo elétrico não uniforme é dado por E → = - 5,00   N / C · m x i ^ + 3,00 N / C · m z k ^ . ( a ) Determine o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces do cubo S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 e S 6 . ( b ) Calcule o fluxo elétrico total no interior do cubo.

Passo 1

Vem comigo que juntos a gente dá conta dessa questão!

O fluxo do campo elétrico através de uma superfície é dado por:

Φ E = E → ⋅ A →

Temos que A → = A n ^ , onde n ^ é o vetor normal (apontando para fora) a superfície que estamos calculando o fluxo, assim:

Φ E = E → ⋅ A n ^

Depois que calcularmos o fluxo através de todas as faces do cubo basta somarmos todos esses fluxos, que aí teremos o fluxo total sobre o cubo, que é a mesma coisa que o item ( b ) pede.

Vamos as contas então!

Passo 2

Começando com S 1 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = - j ^ .

Então, lembrando que a área A é a área de um quadrado de lado 0 , 3   m , temos que:

Φ E = [ - 5,00   N / C · m x i ^ + 3,00 N / C · m z k ^ ] ⋅ ( - 0,09   m 2 j ^ )

⇒ Φ E = 0

Passo 3

Agora para S 2 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = z ^ . Então, temos que:

Φ E = [ - 5,00   N / C · m x i ^ + 3,00 N / C · m z k ^ ] ⋅ ( 0,09   m 2 k ^ )

E como essa superfície está na posição z = 0,3   m , temos:

⇒ Φ E = 3,00 N / C · m ( 0,3   m ) ( 0,09   m 2 )

⇒ Φ E = 0,081   N ⋅ m 2 / C

Passo 4

Agora para S 3 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = y ^ . Então, temos que:

Φ E = [ - 5,00   N / C · m x i ^ + 3,00 N / C · m z k ^ ] ⋅ ( 0,09   m 2 j ^ )

⇒ Φ E = 0

Passo 5

Agora para S 4 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = - z ^ . Então, temos que:

Φ E = [ - 5,00   N / C · m x i ^ + 3,00 N / C · m z k ^ ] ⋅ ( - 0,09   m 2 k ^ )

E como essa superfície está na posição z = 0 , temos:

⇒ Φ E = 3,00 N / C · m ( 0 ) ( - 0,09   m 2 )

⇒ Φ E = 0

Passo 6

Agora para S 5 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = x ^ . Então, temos que:

Φ E = [ - 5,00   N / C · m x i ^ + 3,00 N / C · m z k ^ ] ⋅ ( 0,09   m 2 i ^ )

E como essa superfície está na posição x = 0,3   m , temos:

⇒ Φ E = - 5 , 00 N / C · m ( 0,3   m ) ( 0,09   m 2 )

⇒ Φ E = - 0 , 135   N ⋅ m 2 / C

Passo 7

Agora para S 6 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = - x ^ . Então, temos que:

Φ E = [ - 5,00   N / C · m x i ^ + 3,00 N / C · m z k ^ ] ⋅ ( - 0,09   m 2 i ^ )

E como essa superfície está na posição x = 0 , temos:

⇒ Φ E = - 5 , 00 N / C · m ( 0   m ) ( - 0,09   m 2 )

⇒ Φ E = 0

Passo 8

A gora vamos somar todos os fluxos que calculamos para encontrar o fluxo total, temos:

Φ T = 0 + 0,081   N ⋅ m 2 / C + 0 + 0 - 0,135   N ⋅ m 2 / C + 0

⇒ Φ T = - 0,054   N ⋅ m 2 / C

Então esse é o fluxo total do campo através do cubo.

Resposta

( a )

S 1 :   Φ E = 0

S 2 :   Φ E = 0,081   N ⋅ m 2 / C

S 3 :   Φ E = 0

S 4 :   Φ E = 0

S 5 :   Φ E = - 0,135   N ⋅ m 2 / C

S 6 :   Φ E = 0

( b )

Φ T = - 0,054   N ⋅ m 2 / C

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