Enunciado

O campo elétrico em uma dada região do espaço tem o valor uniforme E → . Mostre que não há nenhuma carga elétrica nessa região.

Passo 1

Para resolver esse problema é mais conveniente usar a lei de Gauss na forma diferencial. Vou deduzi-la aqui pois isso só é feito no final do livro.

Para isso usaremos o teorema do divergente que você deve ter visto nos cursos de cálculo:

∯ E → ⋅ d A → = ∭ ∇ ⋅ E →   d V

Com isso, a lei de Gauss pode ser escrita como

∯ E → ⋅ d A → = ∭ ∇ ⋅ E →   d V = q i n t ϵ 0

Já a carga dentro da superfície pode ser escrita como

q i n t = ∭ ρ   d V

Assim,

∭ ∇ ⋅ E →   d V = ∭ ρ ϵ 0   d V

Isso nos leva a

∇ ⋅ E → = ρ ϵ 0

Passo 2

Se o campo elétrico E → é uniforme, seu divergente será nulo:

∇ ⋅ E → = 0

Desta forma, a densidade de carga também será nula nessa região:

ρ = 0

Isso significa que não há nenhuma distribuição de carga nessa região!

Resposta

Demonstração.

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