Enunciado

38.27. a) Usando o modelo de Bohr, calcule a velocidade do elétron no átomo de hidrogênio para os níveis n=1,2 e 3. B) Calcule o período orbital para cada um desses níveis. C) A vida média para o primeiro nível excitado do átomo de hidrogênio é 1,0 ⋅ 10 - 8   s . No modelo de Bohr, quantas voltas completas o elétron daria no nível n=2 antes de o eletron voltar para seu nível fundamental?

Passo 1

Vamos lá. Começando pelo item (a). A velocidade para o nível n qualquer é dada pela equação

v n = 1 ϵ 0 e 2 2 n h

A gente pode fazer o seguinte

n v n = 1 ϵ 0 e 2 2 h  

Mas esse resultado da direita é a mesma coisa que a velocidade para o nível n = 1 . Então

n v n = v 1

Logo

v n = v 1 n

Então vai ficar mais rápido para gente só calcular o valor de v 1 , e depois a gente vai ter o valor de todas as velocidades.

Vamos lá

v 1 = 1 ϵ 0 e 2 2 h  

Substituindo os valores

v 1 = 1 8,85 ⋅ 10 - 12 2,998 ⋅ 10 8 2 6,63 ⋅ 10 - 34

Isso vai dar

v 1 = 2,18 ⋅ 10 6 m s  

Então

v 2 = 2,18 ⋅ 10 6 2 = 1,09 ⋅ 10 6 m s

E finalmente

v 3 = 2,18 ⋅ 10 6 3 = 7,27 ⋅ 10 5 m s

Passo 2

Agora no item (b), temos que calcular o período orbital para cada nível.

Bem, o período orbital pode ser calculado assim

T n = 2 π r n v n

Mas o problema aqui é que a gente não tem o valor do raio para cada nível. Mas a gente sabe que o raio é calculado assim

r n = ϵ 0 n 2 h 2 π m e 2

E todos esses valores a gente sabe. Outra coisa que vamos fazer é usar a equação

v n = v 1 n

E aí a gente tem

T n = 2 π ϵ 0 n 2 h 2 π m e 2 v 1 n

Agora a gente vai ter que usar um pouquinho de álgebra. Mas vamos com calma. Primeiro vamos reescrever a equação como uma única fração

T n = 2 π ϵ 0 n 3 h 2 v 1 π m e 2

Agora a gente pode cortar o π

T n = 2 ϵ 0 n 3 h 2 v 1 m e 2

Vamos usar de novo o mesmo truque que usamos na velocidade

T n = n 3 2 ϵ 0 n 3 h 2 v 1 m e 2

Repare que para o primeiro nível a gente tem

T 1 = 2 ϵ 0 h 2 v 1 m e 2

Então

T n = n 3 T 1

Então a gente só precisa calcular o período para T 1 . Bom, isso vai dar uma equação grandinha

T 1 = 2 8,85 ⋅ 10 - 12 6,63 ⋅ 10 - 34 2 2,18 ⋅ 10 6 9,11 ⋅ 10 - 31 1,6 ⋅ 10 - 19

E isso tudo vai dar

T 1 = 1,53 ⋅ 10 - 16   s

Agora é mais fácil calcular a dos outros níveis

T 2 = 2 3 ⋅ 1,53 ⋅ 10 - 16 = 1,22 ⋅ 10 - 15

E

T 3 = 3 3 ⋅ 1,53 ⋅ 10 - 16 = 4,13 ⋅ 10 - 15

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Bom, o enunciado nos dá o valor da vida média do hidrogênio, e a gente acabou de calcular o tempo de uma órbita completa no nível 2, então só nos resta fazer uma divisão

n º   d e   ó r b i t a s = 1,0 ⋅ 10 - 8 1,22 ⋅ 10 - 15 = 8,2 ⋅ 10 6

Bastante voltas né?

Resposta

  1. v 1 = 2,18 ⋅ 10 6 m s  
  2. v 2 = 1,09 ⋅ 10 6 m s

    v 3 = 7,27 ⋅ 10 5 m s

  3. T 1 = 1,53 ⋅ 10 - 16   s
  4. T 2 = 1,22 ⋅ 10 - 15

    T 3 = 4,13 ⋅ 10 - 15

  5. n º   d e   ó r b i t a s = 8,2 ⋅ 10 6
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9. No tratamento do modelo de Bohr do átomo de H na Seç. 7.7, o núcleo (próton) foi tratado com se tivesse massa infinita em repouso. Na realidade, o elétron e o núcleo se movem em torno do centro de
(a) Mostre que para n grande, a diferença fracionária de energia entre o estado n e o estado n + 1 para uma partícula em uma caixa unidimensional é dado aproximadamente por En +1 - En () / En ≈ 2 / n
A condição quântica de Bohr nas órbitas de elétrons exige (a) que o momento angular orbital do elétron em torno do núcleo de hidrogênio seja igual a nh, onde n é um número inteiro, (b) que não mais qu