Enunciado

9. No tratamento do modelo de Bohr do átomo de H na Seç. 7.7, o núcleo (próton) foi tratado com se tivesse massa infinita em repouso. Na realidade, o elétron e o núcleo se movem em torno do centro de massa do sistema. ( a ) Mostre, levando em conta esse efeito, que ele corrige a constante de Rydberg por um fator de M / ( M + m ) , onde M é a massa do núcleo. ( b ) Considere o espectro do deutério (isótopo do hidrogênio de massa 2 ). Qual é a variação percentual de comprimento de onda entre uma linha do espectro do H e a linha correspondente do espectro do deutério?

Passo 1

Então galera para mostrar o que é pedido em ( a ) teremos que considerar o movimento do núcleo, logo ele tem uma energia cinética, assim temos que a energia cinética total é:

E = p 2 2 M + p 2 2 m = M + m 2 M m p 2

Onde o primeiro termo é a energia cinética do elétron e do núcleo que é formado por um próton de massa M .

Chamando

μ = M m M + m

Temos que:

E = p 2 2 μ

Agora vamos progredir com análises análogas feitas na teoria do átomo de Bohr

Para responder o item ( b ) vamos usar a série de Balmer dada por:

1 λ = R H 1 2 2 - 1 n 2     ( n = 3,4 , … )

Como R H vai ter uma correção levando em conta a massa do núcleo então poderemos calcular λ para o mesmo n tanto para o hidrogênio quanto para o deutério e ver a porcentagem de diferença entre esses dois comprimentos de onda.

Passo 2

Vamos então em busca de mostrar o que o item ( a ) pede.

Então galera para satisfazer a segunda lei de Newton, vamos igualar a força elétrica que age sobre o elétron em órbita de massa reduzida, ao produto entre sua massa e sua aceleração centrípeta, ficamos com:

e 2 4 π ε 0 r 2 = μ v 2 r

Onde r é o raio da órbita do elétron.

Agora multiplicando a expressão acima por r e lembrando que p = μ v , temos que:

e 2 4 π ε 0 r = p 2 μ

Passo 3

Agora vamos usar o fato de que o momento pode ser escrito da seguinte maneira, como o momento linear do elétron.

p = n h 2 π r             n = 1,2 , 3 , …

Substituindo isso na nossa expressão, encontramos que:

e 2 4 π ε 0 r = n 2 h 2 4 π 2 r 2 μ

Quando isolamos r e usamos o número quântico n encontramos a expressão dos raios das órbitas do átomo de Bohr, dada por:

r n = n 2 h 2 ε 0 π μ e 2

Mas se você olhar a equação 7.40 do livro ela nos fornece uma equação para o raio de Bohr para n = 1 que envolve a constante de Rydberg dada por:

r = q 2 2 h c R H

Onde

q 2 = e 2 4 π ε 0

Então temos que:

r = e 2 8 π ε 0 h c R H

Então podemos igualar essas duas expressões para n = 1 e isolar R H e encontrar uma expressão para essa constante.

Então temos que:

h 2 ε 0 π μ e 2 = e 2 8 π ε 0 h c R H

⇒ R H = μ e 4 8 ε 0 2 h 3 c

Passo 4

Agora vamos analisar essa expressão que encontramos, ela se difere por um fator μ da expressão mostrada na equação 4.49 do livro para o núcleo parado.

Mas como definimos anteriormente, temos que:

μ = m M m + M

A expressão do livro é

R H = m e 4 8 ε 0 2 h 3 c

Então temos que a constante de Rydberg é corrigida por um fator de

M M + m

Passo 5

Agora vamos pegar a fórmula de Balmer dada por:

1 λ = R H 1 2 2 - 1 n 2

Colocando a correção em R H temos:

1 λ H = M M + m R H 1 2 2 - 1 n 2

Para o deutério teríamos o seguinte:

1 λ D = 2 M 2 M + m R H 1 2 2 - 1 n 2

Já que a massa do deutério é o dobro da do hidrogênio.

Agora vamos isolar os comprimentos de onda de cada fórmula, assim ficamos com:

λ H = M + m M R H 1 2 2 - 1 n 2

λ D = 2 M + m 2 M R H 1 2 2 - 1 n 2

Passo 6

Agora vamos achar a diferença entre esses comprimentos de onda, temos:

M + m M R H 1 2 2 - 1 n 2 - 2 M + m 2 M R H 1 2 2 - 1 n 2

⇒ λ H - λ D = m 2 M R H 1 2 2 - 1 n 2

Agora queremos a variação percentual para isso vamos pegar essa diferença que achamos e dividir pelo comprimento de onda do hidrogênio, assim:

λ H - λ D λ H

= m 2 M R H 1 2 2 - 1 n 2 / M + m M R H 1 2 2 - 1 n 2

= m 2 M + m

Agora usando sabendo que a massa do elétron m é 9,109 ⋅ 10 - 31   k g e que a massa do hidrogênio M é 1,673 ⋅ 10 - 27   k g , temos o seguinte:

9,109 ⋅ 10 - 31 2 1,673 ⋅ 10 - 27 + 9,109 ⋅ 10 - 31 = 0,00027

Passando para porcentagem temos que a variação é de 0,027 % .

Resposta

( a )

Demonstração acima.

( b )

0,027 %

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