Enunciado

46. Energia da fusão. Em um reator de fusão nuclear hipotético, dois núcleos de deutério se combinam, ou se ‘fundem’, formando um núcleo de átomo de hélio. A massa do núcleo de deutério, expressa em unidades de massa atômica ( u ) , é igual a 2,0136   u e a do núcleo do átomo de hélio é igual a 4,0015   u   ( 1   u = 1,6605402 ⋅ 10 - 27   k g ) . a ) Qual é a quantidade de energia liberada quando 1,0   k g de deutério sofre fusão? b ) O consumo anual de energia nos Estados Unidos é aproximadamente igual a 1,0 ⋅ 10 19   J . Qual é a quantidade de deutério que deve reagir para produzir essa quantidade de energia?

Passo 1

Então galera, para encontrar primeiro o que é pedido em ( a ) , basta usarmos a equação da energia de repouso, dada por:

E = m c 2

A massa m vai ser diferença entre as massas dos dois átomos de deutério e a massa do átomo de hidrogênio, lembrando que nesse problema temos 1,0   k g de deutério, então teremos que mexer um pouco para achar essa diferença.

Para encontrar a quantidade de deutério pedida em ( b ) teremos que usar o resultado do item ( a ) , já que bem dizer vamos encontrar a energia por quilo de deutério, uma densidade de energia bem dizer.

Então se sabemos a energia por quilo, conseguimos saber quantos quilos precisamos para gerar uma determinada energia, basta dividir a energia que temos pelo a quantidade de energia por quilo, assim

m = E d

Onde E a energia fornecida pelo enunciado e d a densidade de energia que vem do item ( a ) .

Passo 2

Então pessoal, vamos encontrar a diferença de massas entre os dois átomos de deutério e o átomo de hidrogênio, para um 1   k g de deutério.

Primeiro temos que saber quantas massa atômicas representa 1   k g , se

1   u = 1,6605402 ⋅ 10 - 27   k g

6,02213665 ⋅ 10 26   u = 1   k g

Isso é achado usando uma regra de três simples.

Se 1   k g tem essa quantidade unidades de massas atômicas, podemos fazer uma outra regra de três para ver quantas massas atômicas de hélio geramos a parti dessa quantidade, então se:

4,0272   u → 4,0015   u

Quanto 6,02213665 ⋅ 10 26   u gera? Chamemos de x essa quantidade, então:

x = ( 6,02213665 ⋅ 10 26 ) ( 4,0015 ) 4,0272

⇒ x = 5,98370575 ⋅ 10 26   u

Então essa foi a quantidade de hélio gerado, fazendo a diferença entre as massas de deutério e hélio, ficamos com:

6,02213665 ⋅ 10 26 - 5,98370575 ⋅ 10 26   u = 3,84309 ⋅ 10 24   u

Então essa quantidade de massa contribui para a energia liberada, passando ela para k g , temos:

3,84309 ⋅ 10 24   u = 0,00638   k g

Passo 3

Agora podemos calcular a energia libera da fusão, temos:

E = m c 2

Substituindo o que sabemos, temos:

E = 0,00638 3 ⋅ 10 8 2

Então temos que:

E = 5,742 ⋅ 10 14   J

Passo 4

Agora vamos encontrar a massa de deutério para gerar a energia consumida pelo Estados Unidos, temos:

m = E d

Substituindo a energia fornecida pelo o enunciado, temos:

m = 1,0 ⋅ 10 19   J 5,742 ⋅ 10 14   J / k g

Então temos que:

m = 1,74 ⋅ 10 4   k g

Resposta

( a )

E = 5,742 ⋅ 10 14   J

( b )

m = 1,74 ⋅ 10 4   k g

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