Enunciado

48. Uma partícula de poeira de 0,100   μ g é acelerada a partir do repouso até uma velocidade de 0,900 c por uma força constante de 1,0 ⋅ 10 6   N . a ) Se a forma não-relativística da segunda lei de Newton ( ∑ F = m a ) for usada, que distância o objeto percorrerá para atingir sua velocidade final? b ) Usando o tratamento relativístico correto da Seção 37.8 , que distância o objeto percorrerá para atingir sua velocidade final? c ) Qual dessas distâncias é maior? Por quê?

Passo 1

Então meus companheiros, o macete para esse problema é usar o trabalho ao nosso favor, por dois motivos.

Primeiro é que no regime não-relativístico temos que:

W = Δ K

Onde

K = 1 2 m v 2

E no regime relativístico

K = γ m c 2 - m c 2

O segundo motivo de usarmos o trabalho é que:

W = F Δ x

Onde esse Δ x é a distância pedida em ( a ) e em ( b ) dependendo de qual energia cinética usarmos.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) , temos que:

W = Δ K

⇒ W = K f - K i

⇒ F Δ x = 1 2 m v f 2 - 1 2 m v i 2

Isolando Δ x , temos:

Δ x = m ( v f 2 - v i 2 ) 2 F

Substituindo os valores que sabemos, lembrando que a massa deve ser em k g , temos:

Δ x = ( 0,1 ⋅ 10 - 9 ) ( 0,9 c 2 - 0 ) 2 ( 1 ⋅ 10 6 )

= 0,081 ⋅ 10 - 9 c 2 2 ⋅ 10 6

Substituindo o valor de c , temos:

Δ x = 0,081 ⋅ 10 - 9 3 ⋅ 10 8 2 2 ⋅ 10 6

⇒ Δ x = 3,65   m

Passo 3

Agora vamos fazer o caso do item ( b ) , temos:

W = K

⇒ F Δ x = γ m c 2 - m c 2

⇒ F Δ x = m c 2 ( γ - 1 )

Isolando Δ x , temos:

Δ x = m c 2 γ - 1 F

Mas antes de continuarmos vamos encontrar γ , temos que:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

γ = 1 1 - ( 0,9 c ) 2 / c 2

⇒ γ = 1 1 - 0,81

Assim:

γ = 2,29

Substituindo esse γ na expressão que tínhamos, ficamos com:

Δ x = m c 2 2,29 - 1 F

Δ x = m c 2 1,29 F

Substituindo os valores que conhecemos ficamos com, lembrando que a massa deve ser em k g , temos:

Δ x = ( 0,1 ⋅ 10 - 9 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 2 1,29 1 ⋅ 10 6

⇒ Δ x = 11,61   m

Passo 4

Olhando os nossos resultados vemos que a distância no contexto relativístico é maior.

Isso tem a ver com o fato de precisarmos de mais energia para acelerarmos um objeto perto da velocidade da luz, então a força deve agir por um período maior, logo em uma distância maior.

Resposta

( a )

Δ x = 3,65   m

( b )

Δ x = 11,61   m

( c )

A distância com no contexto relativístico é maior, já que precisamos que precisamos de mais energia para fazer um objeto chegar perto da velocidade da luz.

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