Enunciado

49. Considere o cabo coaxial do Problema 30.48 . As correntes dos condutores possuem o mesmo módulo i , porém seus sentidos são opostos. ( a ) Aplique a lei de Ampère para determinar o campo magnético em qualquer ponto do volume entre os condutores. ( b ) Use a expressão da densidade de energia do campo magnético, Equação ( 30.10 ) , para calcular a energia armazenada em uma camada cilíndrica fina entre os dois condutores. Suponha que a camada cilíndrica possua raio interno r , raio externo igual a r + d r e comprimento l . ( c ) Integre a expressão encontrada no item ( b ) sobre o volume entre os dois condutores para calcular a energia total armazenada no campo magnético para um comprimento l do cabo. ( d ) Use o resultado do item ( c ) e a Equação ( 30.9 ) para calcular a indutância L de um comprimento l do cabo. Compare sua resposta ao resultado obtido no item ( d ) do Problema 30.48 .

Passo 1

Vamos discutir cada item separadamente para a gente não se embolar que essa questão é bem grandinha. Vamos lá!

Para o item ( a ) precisamos da lei de Ampère, que é dada por:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I i n t

Mas o campo magnético entre os condutos é constante, já que esse campo provém apenas da corrente que passa no condutor interno, então ele pode sair dessa integral, assim só temos que achar quem é

∮ d l →

Agora para o item ( b ) vamos usar equação 30.10 para achar a densidade de energia assim:

u = B 2 2 μ 0

O B é o campo que vamos encontrar no item anterior. Temos que u é densidade de energia, então é energia sobre volume, logo:

u = U V

⇒ U = u V

⇒ d U = u d V

Onde d V é o elemento de volume da casca cilíndrica (o enunciado falou que era cilindro) que pode ser escrito como:

d V = 2 π r l d r

Para o item ( c ) basta integrar o que achamos no item anterior, assim:

U = ∫ a b d U

Você deve estar se perguntado por que de a até b , é assim pois o enunciado quer o fluxo no volume entre os condutores que, então é a parti do interno de raio a até o externo de raio interno b .

Para calcular o que é pedido no item ( d ) , temos que lembrar que, segundo a equação 30 . 9 do livro, a energia pode ser escrita como:

U = 1 2 L i 2

Então vamos substituir o que encontrarmos em ( c ) nessa expressão e isolar L e comparar com o item ( d ) do exercício 30.48 , que tem como resposta:

L = l μ 0 2 π ln ⁡ b a

Passo 2

Vamos encontrar o que é pedido no item ( a ) então, temos:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I i n t

Sendo B constante ele pode pular para fora da integral, assim:

B ∮ d l → = μ 0 I i n t

A integral em d l é em tordo de uma circunferência pelo fato de o condutor apresentar um raio e como essa integral é em torno do condutor, temos:

∮ d l → = 2 π r

E lembrando que I i n t = i , ficamos com:

B 2 π r = μ 0 i

⇒ B = μ 0 i 2 π r

Passo 3

Agora que temos o campo podemos achar a expressão para u , temos:

u = B 2 2 μ 0

Substituindo B ficamos com:

u = μ 0 i 2 π r 2 2 μ 0

⇒ u = μ 0 i 2 8 π r 2

Agora vamos substituir esse resultado na expressão da energia, temos:

d U = u d V

⇒ d U = μ 0 i 2 8 π r 2 2 π r l d r

⇒ d U = μ 0 i 2 l 4 π r d r

Passo 4

Agora vamos integrar o resultado passo anterior para chegar no que o item ( c ) pede, assim:

U = ∫ a b d U

⇒ U = ∫ a b μ 0 i 2 l 4 π r d r

Podemos jogar para fora da integral o termo:

μ 0 i 2 l 4 π

Já que ele é constante, assim:

U = μ 0 i 2 l 4 π ∫ a b d r r

Então temos que:

U = μ 0 i 2 l 4 π ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

⇒ U = μ 0 i 2 l 4 π ln ⁡ b a

Passo 5

Agora vamos encontrar a expressão para indutância do item ( d ) , temos:

U = 1 2 L i 2

Substituindo U , temos:

μ 0 i 2 l 4 π ln ⁡ b a = 1 2 L i 2

Agora podemos isolar L , assim:

1 2 L i 2 = μ 0 i 2 l 4 π ln ⁡ b a

⇒ L = μ 0 l 2 π ln ⁡ b a

Comparado com o item ( d ) do problema 30.48 , vemos que eles são iguais.

Resposta

( a )

B = μ 0 i 2 π r

( b )

d U = μ 0 i 2 l 4 π r d r

( c )

U = μ 0 i 2 l 4 π ln ⁡ b a

( d )

L = l μ 0 2 π ln ⁡ b a

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