Enunciado

50. Um solenoide toroidal com um raio médio r e uma área de seção reta A está uniformemente enrolado com um número de espiras igual a N 1 . Um segundo solenoide com um número de espiras igual a N 2 é colocado no centro do primeiro solenoide. Ambos são enrolados no mesmo sentido. ( a ) Deduza uma expressão para a indutância L 1 quando somente a primeira bobina é usada; e uma expressão L 2 quando somente a segunda bobina é usada. ( b ) Mostre que M 2 = L 1 L 2 .

Passo 1

Da forma mais simples a indutância (ou auto-indutância) pode ser encontrada através da seguinte expressão:

L = N Φ B i

Onde N é o número de espiras e Φ B é o fluxo do campo magnético presente na situação. Esse fluxo pode ser dado por:

Φ B = A * B

Onde B é o campo magnético e A é a área por onde esse campo passa.

Para o nosso caso como é um solenoide o campo acontece no interior desse solenoide passando por sua área de seção reta A como foi dito pelo enunciado.

O campo desse solenoide pode ser dado pela seguinte expressão:

B = μ 0 N i 2 π r

No caso teremos um campo para cada solenoide ( B 1 ,   B 2 ) já que eles têm número de espiras diferentes.

Para mostrar o que é pedido no item ( b ) , vamos usar a seguinte equação para a indutância mútua M , que acontece quando as duas bobinas estão sendo usadas.

M = N 2 Φ B 2 i 1

Mas se você imaginar a configuração descrita no enunciado e considerando que queremos a indutância mútua (os dois solenoides estão sendo usados ao mesmo tempo), o fluxo Φ B 2 no solenoide interno, pode ser dado pelo campo B 1 , assim:

M = N 2 A B 1 i 1

Passo 2

Primeiro vamos encontrar L 1 , temos o seguinte:

L 1 = N 1 Φ B 1 i 1

O fluxo para esse caso é dado por:

Φ B 1 = A B 1

= A μ 0 N 1 i 1 2 π r

Então a indutância L 1 é dada por:

L 1 = N 1 i 1 A μ 0 N 1 i 1 2 π r

⇒ L 1 = μ 0 N 1 2 A 2 π r

Passo 3

Para L 2 o processo é exatamente igual que a do L 1 a única coisa que muda são os subscritos 1 e 2 , olha só como é igual, temos:

L 2 = N 2 Φ B 2 i 2

O fluxo para esse caso é dado por:

Φ B 2 = A B 2

= A μ 0 N 2 i 2 2 π r

Então a indutância L 2 é dada por:

L 2 = N 2 i 2 A μ 0 N 2 i 2 2 π r

⇒ L 2 = μ 0 N 2 2 A 2 π r

Eu falei que era exatamente igual kkk.

Passo 4

Agora vamos mostrar que a indutância mútua é iguala ao o que é falado no enunciado, temos:

M = N 2 A B 1 i 1

Substituindo o campo B 1 , temos:

M = N 2 A i 1 μ 0 N 1 i 1 2 π r

Botando de uma forma mais ajeitadinha, temos:

M = μ 0 N 1 N 2 A 2 π r

Agora vamos elevar ao quadrado os dois lados, já que temos que fazer aparecer um M 2 , assim:

M 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 π r 2

O segundo termo pode ser escrito da seguinte maneira:

M 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 π r * μ 0 N 1 N 2 A 2 π r

⇒ M 2 = μ 0 N 1 2 A 2 π r * μ 0 N 2 2 A 2 π r

Lembrando os resultados que encontramos nos passos 2 e 3 , temos:

M 2 = L 1 L 2

Resposta

( a )

L 1 = μ 0 N 1 2 A 2 π r

L 2 = μ 0 N 2 2 A 2 π r

( b )

M 2 = L 1 L 2

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