Enunciado

53. Continuação dos exercícios 30.19 e 30.27 . ( a ) Qual é a quantidade de energia armazenada no campo magnético de um indutor para uma constante de tempo depois de a bateria ser desconectada ao indutor mencionado no exercício 30.19 ? Calcule isso integrando a expressão do Exercício 30.27 ( c ) e usando a Equação 30.9 ; compare os dois resultados. ( b ) Integre a expressão obtida no Exercício 30.27 ( a ) para calcular a energia total fornecida pela bateria durante o intervalo de tempo considerado no item ( a ) . ( c ) Integre a expressão obtida no Exercício 30.27 ( b ) para determinar a energia total dissipada na resistência do indutor durante o mesmo intervalo de tempo. ( d ) Compare os resultados obtidos nos itens a ,   ( b ) e ( c ) .

Passo 1

Vamos então as informações principais para resolver esse problema, tendo elas o resto é só ficar integrando expressões.

O enunciado diz que temos uma bateria a ser desconectada do indutor parecido com o caso do exercício 30.19 , assim temos as seguintes informações:

L = 2,50   H

R = 8,00   Ω

ε = 6,00   V

Nesse mesmo caso temos que a corrente do circuito tem o comportamento descrito pela seguinte função:

i t = ε R ( 1 - e - t τ ) ,   τ = L / R

Quando o enunciado fala uma constante de tempo depois ele está se referindo ao τ , assim para todas as partes do problema que envolver t , tanto na hora de substituir valor quanto na hora de colocar os limites de integração teremos t = τ , é isso bem dizer porque o enunciado quer assim.

A equação 30.9 mencionada no item ( a ) é a seguinte:

U L = 1 2 L i 2

Essas são as informações mais relevantes para resolver esse problema o resto é pegar resultados dos exercícios 30.19 e 30.27 .

Passo 2

Vamos então calcular a energia pedia no item ( a ) utilizando a equação 30.9 , temos:

U L = 1 2 L i 2

Mas antes temos que saber qual i usar e vamos achar utilizando a função para a corrente que mostrei no passo 1 e colocando t = τ , assim:

i t = ε R 1 - e - t τ

⇒ i τ = ε R 1 - e - 1

Sabendo os valores de ε e R , temos:

i = 6 8 1 - e - 1

⇒ i = 0,474   A

Então temos que a energia U L , para L = 2,50   H , nos dá o seguinte:

U L = 1 2 2,5 0,474 2

⇒ U L = 0,281   J

Passo 3

Agora vamos encontrar o que o item ( a ) integrando a expressão do exercício 30.27 ( c ) , que é dada por:

P L = L i d i d t

Mas porque ele fala para integrar? A resposta dessa pergunta vem da seguinte relação:

d U L d t = P L

⇒ U L = ∫ P L   d t

Vamos escrever P L de uma forma mais agradável, já que conhecemos uma expressão i , temos:

i = ε R 1 - e - t / τ

Sabendo que τ = L / R

⇒ d i d t = ε L e - t / τ

Assim:

P L = L ε R 1 - e - t / τ   ε L e - t / τ

= ε 2 R ( e - t / τ - e - 2 t / τ )

Agora vamos integrar essa expressão de t = 0 até t = τ , assim:

U L = ∫ 0   τ ε 2 R ( e - t / τ - e - 2 t / τ )   d t

= ε 2 R ∫ 0   τ ( e - t / τ - e - 2 t / τ )   d t

= ε 2 R - τ e - t / τ + τ 2 e - 2 t / τ 0 τ

Assim, ficamos com:

U L = ε 2 R ( - τ e - τ / τ + τ 2 e - 2 τ / τ ) - ( - τ e - 0 / τ + τ 2 e - 0 / τ )

= ε 2 R - τ e - 1 + τ 2 e - 2 + τ - τ 2

= ε 2 R τ - e - 1 + 1 2 e - 2 + 1 2

Sabendo que τ = L / R , temos que:

U L = L ε 2 R 2 - e - 1 + 1 2 e - 2 + 1 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

U L = ( 2,5 ) ( 6 ) 2 ( 8 ) 2 - e - 1 + 1 2 e - 2 + 1 2

Então, temos que:

U L = 0,281   J

Passo 4

Agora vamos encontrar o que o item ( b ) integrando a expressão do exercício 30.27 ( a ) , que é dada por:

P ε = ε i

Mas porque ele fala para integrar? A resposta dessa pergunta vem da seguinte relação:

d U ε d t = P ε

⇒ U ε = ∫ P ε   d t

Vamos escrever P ε de uma forma mais agradável, já que conhecemos uma expressão i , temos:

i = ε R 1 - e - t / τ

Assim:

P ε = ε ε R 1 - e - t / τ

= ε 2 R 1 - e - t / τ

Agora vamos integrar essa expressão de t = 0 até t = τ , assim:

U ε = ∫ 0   τ ε 2 R 1 - e - t / τ   d t

= ε 2 R ∫ 0   τ 1 - e - t / τ   d t

= ε 2 R t + τ e - t / τ 0 τ

Assim, ficamos com:

U ε = ε 2 R ( τ + τ e - 1 ) - ( τ e - 0 / τ )

= ε 2 R ( τ + τ e - 1 - τ )

= ε 2 R τ e - 1

Sabendo que τ = L / R , temos que:

U ε = L ε 2 R 2 e - 1

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

U ε = ( 2,5 ) ( 6 ) 2 ( 8 ) 2 e - 1

Então, temos que:

U ε = 0 , 517   J

Passo 5

Agora vamos encontrar o que o item ( c ) integrando a expressão do exercício 30.27 ( b ) , que é dada por:

P R = i 2 R

Mas porque ele fala para integrar? A resposta dessa pergunta vem da seguinte relação:

d U R d t = P R

⇒ U R = ∫ P R   d t

Vamos escrever P R de uma forma mais agradável, já que conhecemos uma expressão i , temos:

i = ε R 1 - e - t / τ

Assim:

P R = ε 2 R 1 - e - t / τ 2

= ε 2 R 1 - 2 e - t / τ + e - 2 t / τ

Agora vamos integrar essa expressão de t = 0 até t = τ , assim:

U R = ∫ 0   τ ε 2 R 1 - 2 e - t / τ + e - 2 t / τ   d t

= ε 2 R ∫ 0   τ 1 - 2 e - t / τ + e - 2 t / τ   d t

= ε 2 R t + 2 τ e - t / τ - τ 2 e - 2 t / τ 0 τ

Assim, ficamos com:

U R = ε 2 R τ + 2 τ e - 1 - τ 2 e - 2 - 2 τ e - 0 / τ - τ 2 e - 0 / τ

= ε 2 R ( τ + 2 τ e - 1 - τ 2 e - 2 - 2 τ + τ 2 )

= ε 2 R τ 2 e - 1 - 1 2 e - 2 - 1 2

Sabendo que τ = L / R , temos que:

U R = L ε 2 R 2 2 e - 1 - 1 2 e - 2 - 1 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

U R = ( 2,5 ) ( 6 ) 2 ( 8 ) 2 2 e - 1 - 1 2 e - 2 - 1 2

Então, temos que:

U R = 0 , 236   J

Passo 6

Uma coisa curiosa a se notar é que essas três energias que calculamos tem a seguinte relação:

U ε = U R + U L

⇒ 0,517 = 0,236 + 0,281

Trazendo pro português claro temos que a energia fornecida pela bateria tem dois destinos, um é ser armazenada no campo elétrico e o outro é ser dissipada pela resistência do indutor.

Resposta

( a )

U L = 0,281   J

( b )

U ε = 0,517   J

( c )

U R = 0,236   J

( d )

U ε = U R + U L

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

29.75 Uma espira condutora quadrada, de lado igual a 20,0c m , é colocada no mesmo campo magnético descrito no E x e r c í c i o 29.30 í . (Veja a F i g u r a29.55 ; o centro da espira quadrada está n
Um fio de cobre conduz uma corrente de 10A uniformemente distribuída em sua seção reta. Calcule a densidade de energia (a) do campo magnético e (b) do campo elétrico na superfície do fio. O diâmetro d
Uma tensão rms de 24V é necessária para um dispositivo cuja impedância é 12Ω . (a) Qual deve ser a razão entre o número de voltas de um transformador para que o dispositivo possa operar em uma linha d
Um indutor usado em uma fonte de alimentação de corrente contínua possui indutância igual a 12,0H e resistência de 180Ω . Ele conduz uma corrente de 0,500A . (a) Qual é a energia armazenada no campo m
Em um acelerador de prótons usado em experiências de física com partículas elementares, as trajetórias dos prótons são controladas por eletroímãs defletores que produzem camposmagnéticos da ordem de 4