Enunciado

Uma distribuição de carga esférica simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por

ρ r = ρ 0 exp ⁡ - r a             ( 0 ≤ r < ∞   )

onde ρ 0 é uma constante e r é a distância à origem.

  1. Calcule a carga total da distribuição
  2. Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço.

Passo 1

Se liga! Para calcular a carga total devemos lembrar que

Q ' =   ∫ ρ r d V

No enunciado ele nos deu

ρ r = ρ 0 exp ⁡ - r a

Mas como vou saber quem é d V ?Como ele diz que a simetria é esférica, podemos adotar que d V representa a área de uma esfera de raio r . Beleza?!

d V = 4 π r 2 d r

Passo 2

Olha como vai fica nossa expressão de Q '

Q ' = ∫ ρ 0   e - r a   4 π r 2 d r = 4 π ρ 0 ∫   e - r a   r 2 d r

Só precisamos resover a integral!

Para definir um intervalo de integração, vamos dizer que nossa esfera tem raio L . Daí nossa integral fica

∫ 0 L e - r a   r 2 d r

Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes duas vezes e depois substituição obtendo como resultado

∫ 0 L e - r a   r 2 d r =   - a e - r / a   2 a 2 + 2 a r + r 2 0 L

= 2 a 3 - a e - L / a   2 a 2 + 2 a L + L 2

Passo 3

Lembra que ele disse no enunciado que o intervalo é

( 0 ≤ r < ∞   )

Então, precisamos fazer o limite quando L → ∞ , para isso vamos rearranjar o resultado da integral para ficar mais fácil a visualização

lim L → ∞ ⁡ 2 a 3 - a e L / a   2 a 2 + 2 a L + L 2 = 2 a 3

Como e L / a   cresce muito mais rápido cresce muito mais rápido que os outros termos, quando L → ∞ os termos que são multiplicados por ( 1 e L / a   ) vão para zero.

Passo 4

Enfim, agora podemos voltar com o nosso resultado da nossa integral para a expressão da carga

Q ' = 4 π ρ 0 ∫   e - r a   r 2 d r = 4 π ρ 0   2 a 3 =   8 π ρ 0 a 3

Essa é a nossa resposta para o item (a)!

Q ' = 8 π ρ 0 a 3

Passo 5

No item (b) ele quer saber o campo elétrico em uma região qualquer.

Vamos dizer que essa região qualquer está distante do centro da nossa esfera em uma distância r ,   beleza?!

Então, precisamos lembrar do fluxo do campo elétrico, nossa famosa lei de Gauss

ϕ s = E A = q i n t ϵ 0

Como vou saber quem é q i n t e A ?

Passo 6

Nós já encontramos a expressão de q i n t para uma esfera de raio L , certo?Não acredita?!

Olha só

Q ' = 4 π ρ 0 ∫   e - r a   r 2 d r = 4 π ρ 0 2 a 3 - a e - L / a   2 a 2 + 2 a L + L 2 Se estamos interessado em uma esfera de raio r , pasta trocar o L pelo r , sacou?

q i n t = 8 π ρ 0 a 3 - a e - r / a   a 2 + a r + r 2 2

Passo 7

A áera interessada é a área da esfera de raio r

A = 4 π r 2

Substituindo q i n t e A , teremos

E = 8 π ρ 0 a 3 - a e - r / a   a 2 + a r + r 2 2 4 π ϵ 0 r 2 = 2 ρ 0 a 3 ϵ 0 r 2 1 - 1 2 e r / a r a 2 + 2 r a + 2

Como o campo aponta para fora na direção radial, temos

E → = = 2 ρ 0 a 3 ϵ 0 r 2 1 - 1 2 e r / a r a 2 + 2 r a + 2   r ^

Resposta

a )         Q ' = 8 π ρ 0 a 3

b )           E → = = 2 ρ 0 a 3 ϵ 0 r 2 1 - 1 2 e r / a r a 2 + 2 r a + 2   r ^

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