Enunciado

49. Depois de ser produzido numa colisão entre partículas elementares, um píon positivo ( π + ) , para atingir o local de uma experiência, deve se deslocar ao longo de um tubo de comprimento igual a 1,20   k m . Uma partícula π + possui vida média igual a 2,60 ⋅ 10 - 8   s (em relação ao sistema de repouso); o π + considerado possui essa vida média. a ) Com que velocidade o π + deve se deslocar para que ele possa atingir a extremidade do tubo antes de decair? (Visto que u deve ser muito próximo de c , escreva u = ( 1 - Δ ) c e forneça sua resposta em função de Δ em vez de u .) b ) O π + possui uma energia de repouso igual a 139,6   M e V . Qual é a energia total do π + , considerando a velocidade calculada no item ( a ) ?

Passo 1

Então galera, o píon se move com uma velocidade muito perto de c , então ocorre uma dilação temporal, o tempo que medimos será maior que o tempo de vida média do píon.

O que medimos deve satisfazer a seguinte relação Δ t = d / c , calculando temos:

Δ t = 1,2 ⋅ 10 3 3 ⋅ 10 8

Δ t = 4 ⋅ 10 - 6   s

Temos um tempo maior que o tempo de meia vida do píon observado em seu próprio referencial, mostrando que ouve uma dilatação temporal.

Se usarmos a a seguinte relação para o tempo temos:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 / c 2

Onde Δ t é o tempo que medimos e Δ t 0 é o tempo próprio do píon e u é a velocidade que queremos, então basta isolá-la e calcular seu valor.

A energia total de uma partícula é dada por:

E = γ m c 2

Onde usando a informação dada pelo enunciado sobre a energia de repouso temos:

m c 2 = 139,6   M e V

Então só teríamos que saber o valor de γ que é dado por:

γ = 1 1 - u 2 / c 2

Então basta usarmos o valor da velocidade encontrado no item anterior.

Passo 2

Vamos encontrar a velocidade então, temos que:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 / c 2

⇒ 1 - u 2 / c 2 = Δ t 0 Δ t

Elevando os dois lados ao quadrado temos:

1 - u 2 c 2 = Δ t 0 Δ t 2

Fazendo a substituição sugerida pelo enunciado, o termo da velocidade fica da seguinte forma:

u 2 c 2 = 1 - Δ 2 c 2 c 2

= 1 - Δ 2

= 1 - 2 Δ + Δ 2

Mas como Δ é bem pequeno o termo ao quadrado é menor ainda então podemos descartar, assim:

u 2 c 2 = 1 - 2 Δ

Jogando isso na nossa expressão principal ali de cima, temos:

1 - ( 1 - 2 Δ ) = Δ t 0 Δ t 2

⇒ 2 Δ = Δ t 0 Δ t 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

Δ = 1 2 2,60 ⋅ 10 - 8 4 ⋅ 10 - 6 2

= 1 2 0,65 ⋅ 10 - 2 2

Então temos que:

Δ = 2,11 ⋅ 10 - 5

Deixamos da forma que o enunciado pediu.

Passo 3

Agora vamos encontrar a energia, temos que:

E = γ m c 2

Sabemos que m c 2 = 139,6   M e V , falta encontrarmos γ , então:

γ = 1 1 - u 2 / c 2

No item anterior vimos que:

u 2 c 2 = 1 - 2 Δ

Assim:

γ = 1 1 - ( 1 - 2 Δ )

= 1 2 Δ

Então temos que:

γ = 1 2 Δ

Usando o valor de Δ que encontramos no item anterior, temos:

γ = 1 2 ( 2,11 ⋅ 10 - 5 )

⇒ γ = 153,93

Então nossa energia total fica da seguinte forma:

E = 153,93 ( 139,6 )

⇒ E = 2,15 ⋅ 10 4   M e V

Resposta

( a )

Δ = 2,11 ⋅ 10 - 5

( b )

E = 2,15 ⋅ 10 4   M e V

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