Enunciado

54. Dilatação do tempo na vida cotidiana. Dois relógios atômicos são cuidadosamente sincronizados. Um deles permanece em Nova York e o outro é montado em um avião que se desloca com velocidade média igual a 250   m / s e posteriormente volta a Nova York. Quando o avião retorna, o intervalo de tempo total medido pelo relógio no solo é igual a 4 h . Qual é a diferença entre os intervalos de tempo medidos pelos dois relógios e qual deles indica o intervalo de tempo mais curto? (Sugestão: como u ≪ c , voc~e pode simplificar 1 - u 2 / c 2 usando série binomial.)

Passo 1

Então, para sabermos a diferença entre os tempos medidos pelos relógios, teremos que saber o tempo próprio que passou no referencial do relógio no avião, então podemos usar a seguinte relação:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 / c 2

Então o que queremos saber é Δ t 0 , então:

Δ t 0 = Δ t 1 - u 2 / c 2

descobrindo isso, basta fazer o seguinte:

Δ t - Δ t 0

= Δ t - Δ t 1 - u 2 / c 2

⇒ Δ t - Δ t 0 = Δ t 1 - 1 - u 2 / c 2

O enunciado nos sugere fazer a expansão de 1 - u 2 / c 2 , já que u ≪ c , assim:

1 - u 2 / c 2 1 / 2 = 1 - 1 2 u 2 c 2

Vamos ficar apenas com esses dois primeiros termos já que os outros são pequenos e desprezíveis.

Um detalhe, o enunciado da Δ t em horas queremos em segundos, então:

4 h = 14400   s

Passo 2

Vamos encontrar a diferença de tempo entre os relógios, temos:

Δ t - Δ t 0 = Δ t 1 - 1 - u 2 / c 2

Aplicando a expansão que fizemos, ficamos com:

Δ t - Δ t 0 = Δ t 1 - 1 + 1 2 u 2 c 2

= Δ t 1 2 u 2 c 2

Substituindo os valores que sabemos ficamos com:

Δ t - Δ t 0 = 14400 1 2 ( 250 ) 2 ( 3 ⋅ 10 8 ) 2

= 14400 3,47 ⋅ 10 - 13

Então temos que:

Δ t - Δ t 0 = 5 ⋅ 10 - 9   s

Resposta

Δ t - Δ t 0 = 5 ⋅ 10 - 9   s

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