Enunciado

58. Um circuito L - C é constituído por um indutor de 60,0   m H e um capacitor de 250   μ F . A carga inicial do capacitor é igual a 6,0   μ C e a corrente inicial do indutor é igual a zero. ( a ) Qual é a voltagem máxima através do capacitor? ( b ) Qual é corrente máxima no indutor? ( c ) Qual é a energia máxima acumulada no indutor? ( d ) Quando a corrente no indutor atinge a metade de seu valor máximo, qual é a carga no capacitor e qual é a energia acumulada no indutor?

Passo 1

Em um circuito desse tipo a energia sempre se conserva, mas hora ela está totalmente armazenada no campo elétrico do capacitor ou toda no campo magnético do indutor, e fica trocando de um para o outro infinitamente.

Uma coisa a se observar é que o valor da indutância só é 60,0   m H , quando temos a corrente máxima.

A voltagem do capacitor pode ser encontrada através da fórmula da definição de capacitância, que é:

C = Q V

Basta isolar a voltagem e substituir os valores que C , e Q , onde Q = 6,0   μ C é a carga máxima do capacitor já que o enunciado fala que essa é carga inicial, com isso encontramos a voltagem máxima.

Como foi dito mais acima a energia nesse circuito sempre se conserva então a energia máxima acumulada no capacitor é iguala energia máxima que campo ser acumulada no campo do indutor, então:

U C m á x = U L m á x

Mas por que estou falando disso? Então, o indutor só alcança a energia máxima quando a corrente é máxima, já que:

U L = 1 2 L i 2

Sabendo que:

U C m á x = Q 2 2 C

Assim, temos que:

Q 2 2 C = 1 2 L i m á x 2

Onde q é a carga máxima do capacitor que é dada no enunciado.

Com isso basta isolar i m á x e substituir os valores que conhecemos para calculá-lo.

Bem, agora para achar a energia máxima no indutor vamos precisamos da corrente máxima que iremos encontrar, já que a energia do indutor só é máxima quando a corrente é máxima, assim:

U L m á x = 1 2 L i m á x 2

Vamos analisar o caso do item ( d ) , temos que a corrente vai ser metade da corrente máxima, então:

i = 1 2 i m á x

Sabemos que U L m á x é iguala anergia máxima do circuito, então U L m á x = U m á x , se substituirmos a corrente que temos ali encima na fórmula da energia do indutor, achamos:

U L = 1 4 U m á x

Então se a energia no indutor representa 1 / 4 da energia máxima os outros 3 / 4 são de energia no capacitor, logo:

U C = 3 4 U m á x

Que pode ser escrito da seguinte maneira:

q 2 2 C = 3 4 Q 2 2 C

Onde q é a carga para i = 1 2 i m á x .

Passo 2

Vamos então encontrar a voltagem máxima pedida no item ( a ) , temos:

V m á x = Q C

Substituindo o que sabemos temos:

V m á x = 6 ⋅ 10 - 6 2,5 ⋅ 10 - 4

Então temos que:

V m á x = 2,4 ⋅ 10 - 2   V

Passo 3

Agora vamos encontrar a corrente máxima pedida no item ( b ) , onde vamos usar a relação que encontramos no passo 1 , assim:

Q 2 2 C = 1 2 L i m á x 2

Isolando i m á x , temos que:

i m á x = Q L C

Substituindo os valores que conhecemos, temos;

i m á x = 6 ⋅ 10 - 6 0,06 2,5 ⋅ 10 - 4

= 6 ⋅ 10 - 6 0,15 ⋅ 10 - 4

Então temos que:

i m á x = 1,55 ⋅ 10 - 3   A

Passo 4

Agora que temos a corrente máxima podemos achar a energia máxima armazenada no indutor que é pedido no item ( c ) , então:

U L m á x = 1 2 L i m á x 2

Substituindo com o que temos, ficamos com:

U L m á x = 1 2 ( 0,06 ) 1,55 ⋅ 10 - 3 2

Então temos que:

U L m á x = 7,2 ⋅ 10 - 8   J

Passo 5

Agora vamos encontrar a carga no capacitor pedida no item ( d ) quando temos metade da corrente, então:

q 2 2 C = 3 4 Q 2 2 C

Isolando q , temos:

q = 3 4 Q

Substituindo o valor de Q , temos:

q = 3 4 ( 6 ⋅ 10 - 6 )

Então:

q = 5,2 ⋅ 10 - 6   C

Resposta

( a )

V m á x = 2,4 ⋅ 10 - 2   V

( b )

i m á x = 1,55 ⋅ 10 - 3   A

( c )

U L m á x = 7,2 ⋅ 10 - 8   J

( d )

q = 5,2 ⋅ 10 - 6   C

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