Responde Aí

Enunciado

5.14E Suponha que entre o bloco e a superfície da rampa da Figura 5.14 haja um coeficiente de atrito cinético μ c < tg ⁡ ϕ . Sendo v 0 a velocidade inicial do bloco, calcule: A) o tempo gasto no deslizamento; B) a velocidade final do bloco.

Passo 1

Belejóia galerinha bonita, na letra (A) o enunciado pediu pra gente encontrar o tempo t que nosso bloco da levará pra chegar a base da rampa.

Mas calma lá meu patrão, porque quando o enunciado diz que o coeficiente de atrito estático μ c é tal que μ c < tg ⁡ ϕ , ele tá nos dando o bizu de que a força de atrito não é suficiente para frear o movimento e dessa forma o bloco vai deslizar com uma aceleração constante. E se essa aceleração é constante quer dizer que as equações do Movimento Uniformemente Acelerado (MUV) se aplicam a esse movimento MUAHAHAHAH

E pelas equações do MUV, temos que a aceleração é dada pela fórmula:

a R = Δ v Δ t

Logo o tempo será:

t = Δ v a R

Passo 2

Iradoso, agora que a coisa já começou a ficar sagaz podemos encontrar primeiro nosssa aceleração, saca só, a figura 5.14 é dada pra gente como:

Sabendo disso podemos traçar um diagrama de forças pro nosso bloco:

Onde P → é a força peso do bloco, enquanto N → e F → a t   são as forças normal e de atrito respectivamente. Belezoca, além disso, no eixo da rampa a componente da força peso será:

Dessa forma a força resultante F R no eixo da rampa vai ser o somatório da componente da força peso com a força de atrito:

F → R = P → sen ⁡ ϕ - F → a t

E como a força peso é P → = m g e a força de atrito é F → a t = N → . μ c temos que:

F → R = m g sen ⁡ ϕ - N → . μ c

Onde m é a massa do bloco e g é a gravidade. Maaasss a força normal N → também é uma componente da força peso, dada por:

N → = P → cos ⁡ ϕ  

N → = m g cos ⁡ ϕ

Logo a força resultante será:

F → R = m g sen ⁡ ϕ - m g cos ⁡ ϕ . μ c

E como toda força existente, podemos expressar a força resultante de acordo com a fórmula F = m a , onde m é a massa do bloco e a será nossa aceleração resultante:

F → R = m a R

Assim, teremos que a força resultante será:

m a R = m g sen ⁡ ϕ - m g μ c cos ⁡ ϕ

Cortando a massa m dos dois lados e colocando a gravidade g em evidência, descobrimos que a aceleração resultante será:

a R = g sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ

Descobrirmos então que a aceleração do nosso bloco quando está sujeito à uma força de atrito é dada por essa relação fofinha ai!

Passo 3

Já para a velocidade, como estamos falando de um MUV, podemos também aplicar a equação de Torricelli, que diz que:

V f 2 = V 0 2 + 2 a R Δ s

Onde Δ s é a distância total percorrida na rampa, dada por:

Δ s = h sen ⁡ ϕ

Logo a equação de Torricelli fica assim:

V f 2 = 0 2 + 2 g sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ h sen ⁡ ϕ

V f = 2 g h sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

Sendo assim a variação da velocidade Δ v será:

Δ v = V f - V 0

Δ v = 2 g h sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - 0

Portanto:

Δ v = 2 g h sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

Passo 4

Sendo assim, o tempo total gasto para se chegar até a base da rampa é:

t = Δ v a R

t = 2 g h sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ g 2 sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ 2

E passando o denominador pra dentro da raiz, obtemos:

t = 2 g h sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ g 2 sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ 2

E por fim manipulando nossa expressão chegamos em:

t = 2 g h sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ g 2 sen ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ 2

t = 2 h g sen ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ

E de quebra a gente também já descobrirmos nossa letra (B) que pedia pra encontrar a velocidade final V f . Portanto o tempo e a velocidade são:

t = 2 h g sen ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ ,     V f = 2 g h sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

Resposta

  1. t = 2 h g sen ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ
  2. V f = 2 g h sen ⁡ ϕ - μ c cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ
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