Enunciado

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Ignorando qualquer forma de atrito no sistema mostrado na Figura 5.16. A) encontre a relação entre as massas m e M para que o sistema fique em equilíbrio; B) calcule a aceleração dos blocos se M = 2 m .

Passo 1

Salve pessoas, tudo certo? Vamos lá! Primeiro, vamos dividir as forças de cada bloco. Para o bloco “M”, temos:

Na vertical:

N - P m ⋅ c o s 45 ° = 0

N = P m ⋅ c o s 45 °

Na horizontal:

T - F A T - P N ⋅ s e n 45 ° = M ⋅ a

Para o bloco “m”:

P m - T = m ⋅ a

Passo 2

Aqui, podemos montar um sistema de equações e soma-los! Vamos fazer com as componentes verticais e horizontais!

P m - T = m ⋅ a T - F A T - P M ⋅ s e n 45 ° = M ⋅ a

P m - F A T - P M ⋅ s e n 45 ° = a ⋅ M + m

Ignorando o atrito, ( F A T ),

P m - P m ⋅ s e n 45 ° = a ⋅ M + m

Agora temos que entender o seguinte. Para o sistema em equilíbrio, a aceleração tem que ser igualada a 0! Portanto,

P m - P m ⋅ s e n 45 ° M + m = a

P m - P m ⋅ s e n 45 ° M + m = 0

( m ⋅ g ) - ( M ⋅ g ) ⋅ s e n 45 ° M + m = 0

( m ⋅ g ) - M ⋅ g ⋅ 2 2   M + m = 0

Separando,

( m ⋅ g )   2 M + m - M ⋅ g ⋅ 2 2 ( M + m ) = 0

( m ⋅ g )   2 M + m = M ⋅ g 2 2 ( M + m )

Dividindo tudo por g:

m 2 M + m = M ⋅ 2 2 ( M + m )

Fazendo um joguinho com essas razões,

m M = M + m 2 ( M + m )

Logo,

m M = 2

m = 2 M

Passo 3

Agora calculando a aceleração dos blocos, considerando que: M = 2 m . Para isso, vamos voltar naquela equação do passo 2, que é:

P m - P m ⋅ s e n 45 ° M + m = a

( m ⋅ g ) - ( M ⋅ g ) ⋅ 2 2 M + m = a

( m ⋅ g ) - ( M ⋅ g ) ⋅ 2 2 M + m = a

Aplicando os valores de M , em relação a m ( M = 2 m ),

( m ⋅ g ) - ( 2 m ⋅ g ) ⋅ 2 2 2 m + m = a

2 m ( 2 ⋅ g   - g ) 6 m = a

Resolvendo,

a = 2 - 1 g 3

Resposta

A M = 2 m

( B ) a = 2 - 1 g 3

Resposta

A d = 948.6   m e t r o s

B θ = 121.8 °

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