Enunciado

57 . Um observador em uma espaçonave de cruzeiro move-se em direção a um espelho à velocidade v   =   0,650 c relativa ao referencial S na Figura P9.57. O espelho está parado em relação a S . Um pulso de luz é emitido pela espaçonave que viaja em direção ao espelho e é refletido de volta à espaçonave. A espaçonave está a uma distância d   =   5,66 × 10 10   m do espelho (conforme medida pelos observadores em S ) no momento em que o pulso de luz deixa a espaçonave. Qual é o tempo total de viagem do pulso conforme medido pelos observadores ( a ) no referencial S e ( b ) na espaçonave?

Passo 1

O tempo próprio é o intervalo de tempo entre dois eventos que acontecem no mesmo lugar, ou seja, a primeira coisa que temos que fazer quando pegamos um exercício assim é identificar o referencial no qual pertence o tempo próprio, então vamos analisar.

No referencial S o observador ver um pulso saindo da nave em um instante t enquanto a nave está em uma posição x e ver o pulso voltando em um instante t ' quando a nave se moveu até uma posição x ' .

Por outro lado, no referencial da nave ela libera o pulso no instante t na posição x e recebe o pulso no instante t ' na posição x , isto é, para a nave (no referencial dela) ela não mudou de posição, então os dois eventos de emitir o pulso e receber o pulso aconteceram na mesma posição o que significa que o tempo próprio é o intervalo de tempo dos dois eventos visto da nave.

Essa é uma das ideias mais importantes nesse tipo de exercício e agora que esclarecemos vamos começar a resolver a questão.

Passo 2

a ) O observador em S ver o pulso que a nave emitiu percorrer uma distância x 1 = d até o espelho e, após o pulso refletir no espelho, viu ele voltar para a nave percorrendo um caminho x 2 = d - v t .

Mas porque tem esse termo - v t ? Vamos lembrar que a nave está em movimento então a nova posição que ela estará quando o pulso chegar nela vai depender da sua velocidade e do tempo que demorou pra ele voltar.

Sendo assim temos que a distância total percorrida pelo pulso foi:

D = d + d - v t = 2 d - v t

Sabendo que:

t = D c       ⇒     t =   2 d - v t c = 2 d c - v t c   ⇒     t 1 + v c = 2 d c  

Substituindo os valores conhecidos:

t 1 +   0,650 c c = 2 5,66 × 10 10   m 3 ⋅ 10 8   m / s   ⇒ t = 377,333 1,65 = 228,686   s   ~   229   s

Passo 3

b ) Esse item está nos pedindo o tempo próprio e pela equação 9.6 sabemos que:

Δ t p = Δ t γ

Δ t é o que conseguimos no item anterior então vamos achar o γ .

γ = 1 1 - β 2 = 1 1 - v c 2 = 1 1 - 0,650 2 = 1,316

Sendo assim o resultado desse item é dado por:

Δ t p = 229   s 1,316 = 174   s

Resposta

a )

Δ t = 229   s

b )

Δ t p = 174   s

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