Enunciado

55. Cada um dos dois pêndulos mostrados na Figura 13.34 consiste em uma sólida esfera uniforma de massa M sustentado por uma corda de massa desprezível, porém a esfera do pêndulo A é muito pequena, enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior. Calcule o período de cada pêndulo para deslocamentos pequenos. Qual das esferas leva mais tempo para completar uma oscilação?

Passo 1

Para achar o que o enunciado quer, temos que usara fórmula do período, que é o tempo de uma oscilação.

O pêndulo A , pelo o que podemos ver na figura, esse pêndulo pode ser considerado simples e o pêndulo B é um pêndulo físico, por conta da dimensão da esfera.

Então para o A temos a seguinte fórmula do período:

T A = 2 π L g

E para o B , temos:

T B = 2 π I m g d

Para o pêndulo A não temos muito o que encontrar, mas para o pêndulo B , já temos saber o valor de d e I .

Como só a esfera tem massa e o fio não, temos que d = L , avaliando a figura, conseguimos ver também que R = L / 2 .

O momento de inércia de uma esfera sólida com um eixo através do seu centro de massa é dado por:

I = 2 5 M R 2

Mas lembrando que o raio da esfera é L / 2 .

Então:

I = 2 5 M L 2 2

= 1 10 M L 2

Esse é o momento em relação a um eixo que passa pelo centro de massa da esfera, mas na nossa situação o eixo é onde o fio está preso, que é centro da oscilação, mas como achar o momento de inércia em relação a esse ponto?

Bem, podemos usar o teorema dos eixos paralelos, já que já conhecemos um momento de inércia de um eixo que é paralelo a esse e passa pelo centro de massa da esfera, assim:

I = I 0 + M d 2

O d é a distância entre os eixos que é igual a L e o I 0 é o momento que já conhecemos, então:

I = 1 10 M L 2 + M L 2

11 10 M L 2

Passo 2

Vamos agora substituir o que encontramos na fórmula do período do pêndulo B .

T B = 2 π I m g d

⇒ T B = 2 π 11 10 M L 2 M g L

⇒ T B = 2 π L g 11 10

Passo 3

Se você reparar a primeira parte da fórmula do período do pêndulo B é igual a do pêndulo A . Então podemos escrever o seguinte:

T B = 11 10 T A

= 1,05 T A

Então como o período de B é igual ao de A vezes um número maior que um, logo:

T B > T A

Resposta

O pêndulo B leva mais tempo.

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