Enunciado

92. Problema do sino silencioso. Um sino grande está suspenso em uma viga de madeira de forma que possa oscilar com atrito desprezível. O centro de massa do sino está situado 0,60   m abaixo do eixo de suspensão, a massa do sino é igual a 34,0   k g e o momento de inércia do sino em relação ao eixo de suspensão é igual a 18,0   k g ⋅ m 2 . O badalo do sino é uma pequena massa de 1,8   k g ligada à extremidade de uma barra delgada de comprimento L e massa desprezível. A outra extremidade da barra está presa à parte interna do sino, de modo a poder oscilar livremente em torno do mesmo eixo do sino. Qual deve ser o comprimento L da barra delgada do badalo do sino para que ele toque silenciosamente, ou seja, para que o período da oscilação do sino seja igual ao período da oscilação do badalo.

Passo 1

Nesse problema, o melhor caminho vai ser encontrar o período do sino primeiro, para depois nós impormos que o período do badalo seja igual e nisso encontrar o L para que isso seja verdade.

Mas como vamos fazer isso? Bem, o sino é como um pêndulo físico, assim, podemos usar a fórmula do período para esse tipo de pêndulo, que é dada por:

T = 2 π I m g d

Tendo achado o período do sino com essa fórmula, vamos usar então a fórmula do período para um pêndulo comum, dada por:

T = 2 π L g

Fazendo com que o T dessa fórmula tenha o valor que encontramos anteriormente, basta isolar o L e encontrar seu valor.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o período do sino então, temos:

T = 2 π I m g d

Sabendo que I = 18,0   k g ⋅ m 2 , m = 34,0   k g , g = 9,8   m / s 2 e que d = 0,60   m , substituindo esses valores na fórmula, ficamos com:

T = 2 π 18 34 9,8 0,6

⇒ T = 2 π 0,09

Então temos que:

T = 1,885   s

Passo 3

Agora vamos na fórmula do pêndulo comum e isolar o comprimento L , vamos lá:

T = 2 π L g

⇒ T 2 π = L g

Assim, temos que:

L = T 2 4 π 2 g

Passo 4

Agora que temos uma fórmula encontrar L , basta substituir T = 1,885   s e assim encontraremos o comprimento que faz com que o badalo e o sino tenham o mesmo período.

Vamos lá então, temos:

L = 1,885 2 4 π 2 ( 9,8 )

⇒ L = 34,822 4 π 2

Então:

L = 0,88   m

Resposta

L = 0,88   m

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