Enunciado

55. Um detector D e uma fonte de luz monocromática S estão separados por uma distância x , estando ambos localizados no ar a uma distância h acima de uma placa plana de vidro. As ondas que atingem D diretamente de S sofrem interferência com as ondas refletidas na superfície do vidro. A distância x é pequena em comparação com h , de modo que a reflexão é próxima da normal. a ) Mostre que a condição de interferência construtiva é x 2 + 4 h 2 - x = m + 1 2 λ e que a condição de interferência destrutiva é x 2 + 4 h 2 - x = m λ . (Sugestão: leve em consideração a mudança de fase que ocorre na reflexão.) b ) Seja h = 24   c m e x = 14   c m . Qual é o comprimento de onda mais longo para o qual pode ocorrer interferência construtiva?

Passo 1

Para conseguimos entender, melhor a situação, vamos desenhar o que está acontecendo, temos seguinte desenho do que é descrito pelo enunciado:

Como você pode reparar temos uma mudança de fase de 180 ° quando temos a reflexão.

Com isso a condição para interferência construtiva é dada pela igualdade entre a diferença de caminho e m + 1 2 λ .

A interferência destrutiva é dada pela igualdade entre a diferença de caminho e m λ .

E o que seria essa diferença de caminho que mencionei? Então, é a diferença entre os trajetos que a luz toma para chegar no ponto D .

Agora para responder o item ( b ) vamos pegar a expressão para interferência construtiva e calcular o valor de λ para m = 0 .

Passo 2

Vamos então encontrar a distância percorrida pela luz nos dois caminhos e fazer a diferença.

O caminho direto de S até D sem reflexão é tranquilo de achar, temos que:

d 1 = x 2 + x 2 = x

Agora para o caminho que tem reflexão vamos usar a o teorema de Pitágoras ao nosso favor, assim temos:

d 2 = h 2 + x 2 4 + h 2 + x 2 4

= 2 h 2 + x 2 4

Podemos colocar esse 2 para dentro da raiz, assim:

d 2 = 4 h 2 + x 2

Fazendo a diferença de caminhos temos:

d = d 2 - d 1

⇒ d = 4 h 2 + x 2 - x

Passo 3

Agora vamos aplicar isso as condições de interferência construtiva e destrutiva, temos então o seguinte.

Interferência construtiva:

4 h 2 + x 2 - x = m + 1 2 λ

Interferência destrutiva:

4 h 2 + x 2 - x = m λ

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) , temos o seguinte:

4 h 2 + x 2 - x = m + 1 2 λ

⇒ λ = 4 h 2 + x 2 - x m + 1 / 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

λ = 4 ( 0,24 ) 2 + ( 0,14 ) 2 - 0,14 0 + 1 / 2

= 0,36 0,5

Temos então que:

λ = 0,72   m

Resposta

( a )

Interferência construtiva:

4 h 2 + x 2 - x = m + 1 2 λ

Interferência destrutiva:

4 h 2 + x 2 - x = m λ

( b )

λ = 0,72   m

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