Enunciado

55 . A impedância em um circuito L - R - C em paralelo foi deduzida no Problema 31.54 . ( a ) Mostre que, na ressonância, a frequência angular ω 0 = 1 / L C , a impedância Z é máxima e, portanto, a corrente que passa pela fonte c a é mínima. ( b ) Um resistor de 100   Ω , um capacitor de 0,100   μ F e um indutor de 0,300   H estão conectados em paralelo a uma fonte de tensão com amplitude de 240   V . Qual é a frequência angular de ressonância? Para esse circuito, na frequência de ressonância, qual é: ( c ) a corrente máxima através da fonte; ( d ) a corrente máxima no resistor; ( e ) a corrente máxima no indutor; ( f ) a corrente máxima no ramo que contém o capacitor?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Uma coisa que precisamos nesse problema é a equação da impedância que foi deduzida no problema 31.54 , essa equação é dada por:

1 Z = 1 R 2 + ω C - 1 ω L 2

Como os elementos do circuito estão em paralelo eles tem a mesma voltagem da fonte, saber disso vai ser útil para calcularmos as correntes pedidas em ( c ) , ( d ) , ( e ) e ( f ) e para isso vamos usar também que:

V = I Z

V R = I R

V L = I X L

V C = I X C

Onde V = V R = V L = V C = 240   V .

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Para que a impedância seja máxima o termo da raiz quadrada do lado direito deve ser mínimo e para isso acontecer, temos que:

ω C - 1 ω L = 0

ω C = 1 ω L

⇒ ω = 1 L C

E como a impedância é mínima, temos que a corrente é máxima, já que:

I = V Z

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Nós já vimos no item ( a ) que a frequência angular de ressonância é dada por:

ω = 1 L C

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

ω = 1 ( 0,3 ) ( 0,1 × 10 - 6 )

⇒ ω = 5773,5   r a d / s

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

Estamos em um caso de ressonância, logo:

1 Z = 1 R 2 = 1 R

⇒ Z = R

A corrente máxima através da fonte pode ser tirada da seguinte equação:

V = I Z

⇒ I = V Z

Como Z = R = 100   Ω , temos:

I = 240 100

⇒ I = 2,4   A

Passo 5

Agora para o item ( d ) .

A corrente máxima do resistor pode ser tirada da seguinte equação:

V R = I R

⇒ I = V R R

Como R = 100   Ω , temos:

I = 240 100

⇒ I = 2,4   A

Passo 6

Agora para o item ( e ) .

Para o indutor, temos que:

V L = I X L

Temos que calcular X L , para isso vamos usar a seguinte equação:

X L = ω L

Como já calculamos ω e conhecemos L , temos:

X L = ( 5773,5 ) ( 0,3 )

⇒ X L = 1732,1   Ω

Então temos que a corrente máxima no indutor é:

I = V L X L

⇒ I = 240 1732,1

⇒ I = 0,138   A

Passo 7

Finalmente o último item!! Item ( f ) .

Para o capacitor temos que:

V C = I X C

Como estamos em um caso de ressonância, temos que:

X C = X L

Então temos que X C = 1732,1   Ω , então a corrente é dada por:

I = 240 1732,1

⇒ I = 0,138   A

Finalmente temos a questão finalizada!

Resposta

( a )

Demonstrado acima.

( b )

ω = 5773,5   r a d / s

( c )

I = 2,4   A

( d )

I = 2,4   A

( e )

I = 0,138   A

( f )

I = 0,138   A

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