Enunciado

55. A relação que precede a Equação ( 30.27 ) pode ser convertida em uma relação de energia. Multiplique ambos os membros daquela equação por - i = - d q / d t . Então, o primeiro termo torna-se igual a i 2 R . Mostre que o segundo termo pode ser escrito na forma d ( q 2 / 2 C ) / d t . O que a equação resultante revela sobre a conservação da energia no circuito?

Passo 1

Primeiro vamos ver a equação que precede a equação 30.27 , temos:

- i R - L d q d t - q C = 0

O enunciado nos fala para multiplicar os dois lados por - i e é isso que vamos fazer, então:

i 2 R + L i d q d t + q i C = 0

Observando bem essa fórmula, vemos que o primeiro termo é a potência dissipada no resistor, temos:

P R = i 2 R

E lembrando que:

d U R d t = P R

A intenção principal do enunciado é mostrar que a expressão mais acima pode se transformar em uma relação de energia, então vamos a partir da energia tentar chegar no primeiro e no segundo termo da fórmula.

O segundo termo tem uma indutância L ali no meio então vamos usar U L a energia armazenada em um indutor, no terceiro termo aparece uma capacitância C então vamos usar U C a energia armazenada em um capacitor. Temos que:

U L = 1 2 L i 2

U C = q 2 2 C

Se você repara o enunciado pede para mostrar que um termo venha dessa fórmula da energia no capacitor.

Passo 2

Vamos mexer primeiro na energia armazenada no indutor, temos:

U L = 1 2 L i 2

Derivando os dois lados dessa expressão em relação ao tempo, temos:

d U L d t = d d t 1 2 L i 2

= 1 2 L d d t i 2

Então:

d U L d t = 1 2 L 2 i d i d t

= L i d i d t

Passo 3

Vamos mexer primeiro na energia armazenada no indutor, temos:

U C = q 2 2 C

Derivando os dois lados dessa expressão em relação ao tempo, temos:

d U C d t = d d t q 2 2 C

= 1 2 C d d t q 2

Então:

d U C d t = 1 2 C 2 q d q d t

= 1 C q d q d t

Sabemos que q é a carga e a definição de corrente é a variação de carga no tempo ( d q / d t ) , assim:

d q d t = i

Então temos que:

d U C d t = q i C

Passo 4

Então a expressão que tínhamos no passo 1 resultou no seguinte:

d U R d t + d U L d t + d U C d t = 0

E o que isso quer dizer?

Bem, isso nos passa a informação de que a taxa de variação liquida da energia é zero.

Resposta

A equação resultante nos passa a informação de que a taxa de variação liquida da energia é zero.

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