Enunciado

59. Em uma experiência, dois prótons são lançados diretamente um contra o outro, cada um se deslocando com a metade da velocidade da luz em relação ao laboratório. a ) Que velocidade tem um próton em relação ao outro? b ) Qual seria a resposta à parte ( a ) se usássemos apenas mecânica newtoniana não-relativística? c ) Qual é a energia cinética de cada próton em relação a ( i ) um observador em repouso no laboratório e ( i i ) um observador se deslocando com um dos prótons? d ) Quais seriam as respostas à parte ( c ) se usássemos apenas mecânica newtoniana não-relativística?

Passo 1

Então galera, nesse problema temos dois referencias um referencial do laboratório que podemos chamar de S e o referencial do próton que se move para direita, que podemos chamar de S ' .

No referencial S temos que os dois prótons tem uma velocidade c / 2 , com isso podemos achar a velocidade de um próton em relação ao outro se encontrarmos a velocidade do próton que se move para a esquerda no referencial S ' que é o referencial do outro próton que se move para direita.

Lembrando que a velocidade S ' é igual a do próton que vai para direita.

Podemos encontrar essa velocidade com a transformada de Lorentz para a velocidade, dada por:

v ' = v - u 1 - u v / c 2

Onde v ' é a velocidade no referencial S ' , v no referencial S e u a velocidade de S ' .

Isso é para o item ( a ) , para o item ( b ) onde temos apenas mecânica newtoniana não-relativística, as velocidades de cada um apenas se somariam, logo a velocidade de um próton em relação ao outro é:

c 2 + c 2 = c

Para achar a energia cinética pedida em ( c ) , basta usarmos a equação da energia cinética dada por:

K = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

Para cada situação, na situação ( i ) a velocidade v já conhecemos ( v = c / 2 ) e para o caso ( i i ) a velocidade que achamos em ( a ) .

Para o item ( d ) bem dizer é a mesma coisa só que com a equação tradicional da energia cinética, dada por:

K = 1 2 m v 2

Para o caso ( i ) vamos usar a velocidade que já conhecemos ( v = c / 2 ) e para o caspo ( i i ) vamos usar a velocidade que encontramos no passo 1 ainda ( v = c ) .

Uma informação útil para gente é massa de repouso do próton.

m = 1,67 ⋅ 10 - 27   k g

Passo 2

Vamos encontrar a velocidade entre os prótons, temos:

v ' = v - u 1 - u v / c 2

Substituindo v = - c / 2   (indicando que e move para a esquerda) e u = c / 2 .

v ' = - c / 2 - c / 2 1 - ( c / 2 ) ( - c / 2 ) / c 2

= - c 1 + 1 / 4

v ' = - 4 5 c = - 0,8 c

Então a velocidade entre os prótons é de 0,8 c .

Passo 3

Vemos encontrar a energia cinética pedida em ( c ) , dada por:

K = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

Primeiro vamos encontrar para o caso ( i ) onde temos v = c / 2 . Então:

K = m c 2 1 - ( c / 2 ) 2 / c 2 - m c 2

= m c 2 1 1 - 1 / 4 - 1

= m c 2 ( 0 , 155 )

Substituindo os valores de m e c , temos:

K = 1,67 ⋅ 10 - 27 3 ⋅ 10 8 2 ( 0 , 155 )

⇒ K = 2,33 ⋅ 10 - 11   J

Agora vamos encontrar para o caso ( i i ) onde temos v = 0,8 c . Então:

K = m c 2 1 - ( 0,8 c ) 2 / c 2 - m c 2

= m c 2 1 1 - 0,64 - 1

= m c 2 ( 0 , 67 )

Substituindo os valores de m e c , temos:

K = 1,67 ⋅ 10 - 27 3 ⋅ 10 8 2 ( 0 , 67 )

⇒ K = 10,1 ⋅ 10 - 11   J

Passo 4

Agora partimos para encontrar a energia cinética do item ( d ) , vamos usar:

K = 1 2 m v 2

Primeiro vamos encontrar para o caso ( i ) onde temos v = c / 2 . Então:

K = 1 2 m c 2 2

= m c 2 8

Substituindo os valores de m e c , temos:

K = 1,67 ⋅ 10 - 27 3 ⋅ 10 8 2 8

⇒ K = 1,88 ⋅ 10 - 11   J

Agora vamos encontrar para o caso ( i i ) onde temos v = 0,8 c . Então:

K = 1 2 m 0,8 c 2

= 0,64 m c 2 2

= 0,32 m c 2

Substituindo os valores de m e c , temos:

K = 0,32 1,67 ⋅ 10 - 27 3 ⋅ 10 8 2

⇒ K = 4,81 ⋅ 10 - 11   J

Resposta

( a )

v = 0,8 c

( b )

v = c

( c )

K i = 2,33 ⋅ 10 - 11   J

K i i = 10,1 ⋅ 10 - 11   J

( d )

K i = 1,88 ⋅ 10 - 11   J

K i i = 4,81 ⋅ 10 - 11   J

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