Enunciado

59 . Em um experimento, o campo elétrico é medido em pontos a distâncias r de um fio retilíneo uniformemente carregado, que possui carga por unidade de comprimento λ e comprimento l , em que l ≫ r . Em um segundo experimento, o campo elétrico é medido em pontos a distâncias r do centro de uma esfera isolante uniformemente carregada, que possui densidade volumétrica de carga ρ e raio R = 8,00   m m , em que r > R . Os resultados das duas medições são listados em uma tabela, mas você não é informado qual conjunto de dados se aplica a cada experimento:

Para cada conjunto de dados, desenhe dois gráficos: um para E r 2 em função de r e outro para E r em função de r . ( a ) Use esses gráficos para determinar qual conjunto de dados, A ou B , é para fio retilíneo uniformemente carregado e qual conjunto é para a esfera uniformemente carregada. Explique seu raciocínio. ( b ) Use os gráficos da parte ( a ) para calcular λ para o fio retilíneo uniformemente carregado e ρ para a esfera uniformemente carregada.

Passo 1

Vem comigo que a gente dá conta dessa juntos!

A primeira coisa que temos que fazer são os gráficos, já que eles vão ajudar a encontrar o que o item ( a ) e o item ( b ) pedem.

Uma coisa que vai nos ajudar no item ( a ) e ( b ) é conhecer a expressão do campo elétrico para um fio muito longo ou infinito e para uma esfera uniformemente carregada.

Para o fio temos:

E = λ 2 π ϵ 0 r

Para uma esfera, temos:

E = 1 4 π ϵ 0 q r 2

A partir disso e dos gráficos, podemos responder o item ( a ) e ( b ) .

Passo 2

Os gráficos da medida A são os seguintes:

Agora os gráficos da medida B .

Passo 3

Agora que temos os gráficos podemos descobrir qual medida se refere ao fio e qual se refere a esfera.

A equação do campo elétrico do fio é dada por:

E = λ 2 π ϵ 0 r

Isolando E r , temos que:

E r = λ 2 π ϵ 0 = c o n s t a n t e

Então o gráfico de E r referente ao fio deve ser constante e isso corresponde a medida A .

A equação do campo da esfera é dada por:

E = 1 4 π ϵ 0 q r 2

Isolando E r 2 , temos que:

E r 2 = q 4 π ϵ 0 = c o n s t a n t e

Então o gráfico de E r 2 referente a esfera deve ser constante e isso corresponde a medida B .

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

Ele quer que encontremos a densidade linear λ e a densidade volumétrica ρ . Vamos começar com λ .

Isolando λ na equação do campo elétrico, temos:

λ = E r 2 π ϵ 0

Pegando um valor de E r do gráfico (vamos usar 2720   N ⋅ m / C ), e substituindo o valor de ϵ 0 , temos:

λ = ( 2720 ) 2 π ( 8,854 × 10 - 12 )

⇒ λ = 1,5 × 10 - 7   C / m

Passo 5

Agora para achar o ρ ,vamos primeiro isolar q na equação do campo da esfera, já que:

ρ = q V

Onde V é o volume da esfera. Então temos o seguinte:

E r 2 = q 4 π ϵ 0

⇒ q = E r 2 4 π ϵ 0

Pegando um valor de E r 2 do gráfico (vamos usar 54,5   N ⋅ m 2 / C ), e substituindo o valor de ϵ 0 , temos:

q = ( 54,5 ) 4 π ( 8,854 × 10 - 12 )

⇒ q = 6,063 × 10 - 9   C

Agora podemos encontrar a densidade, temos:

ρ = q V

⇒ ρ = q 4 3 π R 3

Substituindo os valores, temos:

ρ = 6,063 × 10 - 9 4 3 π ( 0,008 ) 3

⇒ ρ = 2,82 × 10 - 3   C / m 3

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

A medida A é do fio e a medida B é da esfera.

( b )

λ = 1,5 × 10 - 7   C / m

ρ = 2,82 × 10 - 3   C / m 3

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