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Uma esfera oca condutora com raio interno a e raio externo b possui uma carga puntiforme positiva Q , localizada em seu centro. A carga total sobre a esfera oca é igual a - 3 Q e está isolada de suas vizinhanças (Figura 22.38 ). a Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico em função da distância r ao centro para as regiões r < a , a < r < b , e r > b . b Qual é a densidade superficial de carga sobre a superfície interna da esfera oca condutora? c Qual é a densidade superficial de carga sobre a superfície externa da esfera oca? d Faça um desenho indicando as linhas de campo elétrico e a localização de todas as carga. e Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r .

Passo 1

Para saber o campo elétrico em cada situação, precisamos considerar uma superfície gaussiana adequada para cada uma delas.

Primeiramente, supondo uma superfície gaussiana esférica de raio r < a , ela envolve a carga da esfera central + Q . Logo, o seu campo elétrico será dado por:

E = k Q r 2

Já para uma superfície gaussiana que tenha raio a < r < b , visto que nessa região ela se encontra no interior da esfera oca que é um condutor sólido carregado, então o seu campo elétrico é nulo.

Agora para a superfície gaussiana de raio r > b , ela envolve a carga central + Q e a carga mais externa de valor - 3 Q . Como a carga líquida é dada por - 2 Q no interior da superfície de Gauss, então o seu campo elétrico na superfície externa será dado por:

E = k + 2 Q r 2

Passo 2

Na região da superfície interna da esfera oca, ou seja, em a < r < b , por se tratar de um condutor carregado, o campo elétrico deve ser nulo.

Como a superfície gaussiana nesta região envolve a carga + Q do centro, então a carga na superfície interna deve ser - Q . Consequentemente, essa superfície possui densidade superficial de carga:

σ = Q A = - Q 4 π a 2

Passo 3

Agora, como a esfera oca possui carga total igual a - 3 Q , tendo uma carga - Q na superfície interna, a carga na superfície externa (em r > b ) deve ser - 2 Q para resultar na carga total. Logo, a superfície externa tem densidade superficial de carga com o seguinte valor:

σ = Q A = - 2 Q 4 π b 2

σ = - Q 2 π b 2

Passo 4

O esboço das linhas do campo elétrico e dos sinais das cargas é dado a seguir:

Passo 5

Por fim, o gráfico desse caso é dado por:

Resposta

a   r < a → E = k Q r 2

a < r < b → E = 0

r > b → E = k 2 Q r 2

b   - Q 4 π a 2

c - Q 2 π b 2

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