Enunciado

60 . Duas cascas esféricas possuem um centro comum. A casca interna possui raio R 1 = 5,00   c m e carga q 1 = + 3,00 × 10 - 6   C ; a casca exterior possui raio R 2 = 15,0   c m e carga q 2 = - 5,00 × 10 - 6   C . Ambas as cargas estão distribuídas uniformemente sobre a superfície da casca. Determine o potencial elétrico produzido pelas duas cascas para as seguintes distâncias a partir de seu centro comum: a   r = 2,50   c m ; b   r = 10,0   c m ; c   r = 20,0   c m . Considere V = 0 a distâncias muito grandes das cascas.

Passo 1

Vamos juntos resolver essa? Então vem comigo!

O potencial em um certo ponto produzido por uma carga é dado por:

V = 1 4 π ϵ 0 q r

Então o potencial gerado pelas cascas é dado pela soma do potencial gerado por cada uma delas separadamente.

Vamos então as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) , onde r = 2,5   c m .

A essa distância estamos dentro das duas cascas, então o potencial é dado por:

V T = 1 4 π ϵ 0 q 1 r 1 + 1 4 π ϵ 0 q 2 r 2

Como estamos dentro das duas cascas temos que r 1 = R 1 e r 2 = R 2 , assim:

V T = 1 4 π ϵ 0 q 1 R 1 + q 2 R 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

V T = ( 8.99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 ) 3 × 10 - 6 0,05 + - 5 × 10 - 6 0,15

= ( 8.99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 ) 2,66 667 × 10 - 5

Assim temos que:

V T = 2,4 × 10 5   V

V T = 240   k V

Passo 3

Vamos para o item ( b ) , onde r = 10   c m .

A essa distância estamos dentro da casca externa, mas fora da casca interna, então o potencial é dado por:

V T = 1 4 π ϵ 0 q 1 r 1 + 1 4 π ϵ 0 q 2 r 2

Como estamos dentro só da casca externa temos que r 1 = r e r 2 = R 2 , assim:

V T = 1 4 π ϵ 0 q 1 r + q 2 R 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

V T = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 3 × 10 - 6 0,1 + - 5 × 10 - 6 0,15

= 1 4 π 8,854 × 10 - 12 - 3,33 × 10 - 6

Assim temos que:

V T = - 3 × 10 4   V

V T = - 30   k V

Passo 4

Vamos para o item ( c ) , onde r = 20   c m .

A essa distância estamos fora das duas cascas, então o potencial é dado por:

V T = 1 4 π ϵ 0 q 1 r 1 + 1 4 π ϵ 0 q 2 r 2

Como estamos fora das duas cascas temos que r 1 = r e r 2 = r , assim:

V T = 1 4 π ϵ 0 q 1 r + q 2 r

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

V T = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 3 × 10 - 6 0,2 + - 5 × 10 - 6 0,2

= 1 4 π 8,854 × 10 - 12 - 1 × 10 - 5

Assim temos que:

V T = - 89,9 × 10 4   V

V T = - 89,9   k V

Com isso temos a questão finalizada em mãos!

Resposta

( a )

V T = 240   k V

( b )

V T = - 30   k V

( c )

V T = - 89,9   k V

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