Enunciado

71 . Duas esferas plásticas, cada qual com carga uniformemente distribuída em seu interior, inicialmente são colocadas em contato e depois liberadas. Uma esfera tem 60,0   c m de diâmetro, possui massa de 50,0   g e contém - 10,0   μ C de carga. A outra esfera tem 40,0   c m de diâmetro, possui massa de 150,0   g e contém - 30,0   μ C de carga. Encontre a aceleração máxima e a velocidade escalar máxima atingidas por cada esfera (em relação ao ponto fixo de sua localização inicial no espaço), considerando que nenhuma outra força atue sobre elas. (Dica: as cargas uniformemente distribuídas se comportam como se estivessem concentradas nos centros das duas esferas.)

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!

Para não ficarmos perdidos vamos chamar a esfera de 50   g de 1 e a de 150   g de 2 .

Para encontrarmos a aceleração das esferas podemos usar a segunda lei de Newton ao nosso favor, já que:

F = m a

A força que atua nas partículas é a mesma, dada por:

F = 1 4 π ϵ 0 q Q r 2

Essa aceleração máxima ocorre logo após as esferas serem liberadas já que a força cai por um fato de 1 / r 2 .

Agora para achar a velocidade máxima dessas partículas, vamos usar a conservação de momento e de energia ao nosso favor.

A conservação de energia é da seguinte forma:

K i + U i = K f + U f

Onde K i = 0 já que elas partem do repouso e U f = 0 , já que elas estão muito afastadas e a energia potencial caiu a zero, então:

U i = K f

Onde a energia potencial é a elétrica entre as partículas, assim:

K f = 1 4 π ϵ 0 q Q r

Então a partir disso podemos achar K f e usando que:

K f = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Podemos achar uma relação entre as velocidades a partir da conservação de momento, onde temos que o momento inicial é zero, assim:

0 = m 1 v 1 - m 2 v 2

⇒ v 1 = m 2 m 1 v 2

Agora podemos ir fazer as contas!

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a aceleração máxima, temos:

m a = 1 4 π ϵ 0 q Q r 2

⇒ a = 1 4 π ϵ 0 m q Q r 2

Para a esfera 1 temos que:

a 1 = 1 4 π ϵ 0 m 1 q Q r 2

⇒ a 1 = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 0,05 ) ( - 1 0 × 10 - 6 ) ( - 30 × 10 - 6 ) ( 0,5 ) 2

= 3 × 10 - 10 1,39 × 10 - 12

Então temos que:

a 1 = 215,8   m / s 2

Agora para a esfera 2, temos:

a 2 = 1 4 π ϵ 0 m 2 q Q r 2

⇒ a 2 = 1 4 π ϵ 0 4 m a q Q r 2

a 2 = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 0,15 ) ( - 10 × 10 - 6 ) ( - 30 × 10 - 6 ) ( 0,5 ) 2

= 3 × 10 - 10 4,17 × 10 - 12

Então temos que:

a 2 = 71,9   m / s 2

E como a gente viu no passo 1 essa aceleração é máxima logo após o lançamento.

Passo 3

Agora vamos atrás das velocidades, da conservação de energia, temos que:

K f = 1 4 π ϵ 0 q Q r

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

K f = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( - 1 0 × 10 - 6 ) ( - 30 × 10 - 6 ) 0,5

= 3 × 10 - 10 5 , 56 × 10 - 11

Então temos que:

K f = 5,4   J

Passo 4

Agora que temos a energia cinética final do sistema, podemos encontrar as velocidades que queremos, temos que:

K f = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Usando a relação que chegamos no passo 1 entre v 1 e v 2 , ficamos com:

K f = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

⇒ K f = 1 2 m 1 m 2 m 1 v 2 2 + 1 2 m 2 v 2 2

⇒ K f = 1 2 m 2 2 m 1 v 2 2 + 1 2 m 2 v 2 2

⇒ K f = 1 2 m 2 2 m 1 + m 2 v 2 2

Então temos que:

v 2 = 2 K f m 2 2 m 1 + m 2

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

v 2 = 2 5,4 0,15 2 0,05 + 0,15

⇒ v 2 = 2 5,4 0,15 2 0,05 + 0,15

⇒ v 2 = 4,24   m / s

Passo 5

Agora usando a relação da conservação de momento, temos:

v 1 = m 2 m 1 v 2

Substituindo o valor de v 2 , temos:

v 1 = 0,15 0,05 ( 4,24 )

⇒ v 1 = 1 2,72   m / s

Essas velocidades máximas ocorrem depois de um longo tempo, já que toda a energia potencial elétrica inicial foi transformada em energia cinética.

Resposta

a 1 = 215,8   m / s 2

a 2 = 71,9   m / s 2

v 1 = 12,72   m / s

v 2 = 4,24   m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10 . Quatro elétrons estão localizados nos ângulos de um quadrado de lado 10,0n m , com uma partícula alfa em seu ponto médio. Qual é o trabalho necessário para deslocar a partícula alfa para o ponto
6 . Energia do pareamento de bases do DNA. (Exercício 21.21 .) ( a ) Calcule a energia potencial elétrica da ligação adenina-timina, utilizando as mesmas combinações de moléculas ( O - H - N e N - H -
47 . Uma carga puntiforme q 1 = 4,00n C é colocada na origem, e uma segunda carga puntiforme q 2 = - 3,00n C é colocada sobre o eixo x no ponto x = + 20,0c m . Uma terceira carga puntiforme q 3 = 2,00
50 . Uma pequena esfera com massa igual a 5,00 × 10 - 7k g e carga igual a + 7,00μ C é liberada a partir do repouso a uma distância de 0,400m acima de uma grande placa isolante horizontal uniformement
52 . Um próton e uma partícula alfa são liberados a partir do repouso quando estão separados por 0,225n m de distância. A partícula alfa (um núcleo de hélio) tem, essencialmente, quatro vezes a massa