Enunciado

Se y x , t = 6,0   m m s e n ( k x + ( 600   r a d / s ) t + φ ) descreve uma onda que se propaga em uma corda, quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y = + 2,0   m m e y = - 2,0   m m ?

Passo 1

Falaa ai galerinha do RespondeAí, tudo jóinha?

Saca só, nesse exercício aqui a gente tem que o a função de onda dada como:

y x , t = 6,00   mm sen ⁡ k x - 600   rad/s t + φ

Descreve uma onda que se propaga em uma corda, e sabendp disso o enunciado quer que a gente encontre quano tempo um ponto da corda leva pra se mover entre os deslocamentos y = + 2,0   mm e y = - 2,0   mm .

Belezoca, nessa parte de ondas, o segredo é quase sempre extrair o máximo de informações da equação da onda. Ela segue esse fórmula aqui:

y x , t = y m sen ⁡ k x - ω t + φ

Vamos chamar de t 1   o ponto em que y = + 2,0   mm , e de t 2 o ponto em que y = - 2,0   mm , de modo que e t 1 obtemos que:

2,0 = 6,0 . sen ⁡ ( k x + 600 t 1 + φ )

Enquanto que em t 2 nós temos:

- 2,0 = 6,0 . sen ⁡ ( k x + 600 t 2 + φ )

Agora vamos isolar os senos em cada uma das duas, então para t 1 :

sen ⁡ k x + 600 t 1 + φ = 2,0 6,0

sen ⁡ ( k x + 600 t 1 + φ ) = 1 3

E para t 2 :

sen ⁡ k x + 600 t 2 + φ = - 2,0 6,0

sen ⁡ ( k x + 600 t 2 + φ ) = - 1 3

E assim chegamos em um sistema de duas equações, bora lá ver como que fica essa brincadeira.

Passo 2

Nosso objetivo é saber qual o tempo entre esses dois pontos, ou seja, queremos achar:

Δ t = t 1 - t 2

Então vamos tirar os t ’s de dentro dos senos, logo:

k x + 600 t 1 + φ = sen - 1 ⁡ 1 3

k x + 600 t 2 + φ = sen - 1 ⁡ - 1 3

Agora a malandragem é que podemos subtrair uma equação da outra, de modod que:

600 t 1 - 600 t 2 = sen - 1 ⁡ 1 3 - sen - 1 ⁡ - 1 3

Colocando 600 evidência:

600 t 1 - t 2 = sen - 1 ⁡ 1 3 - sen - 1 ⁡ - 1 3

Logo:

600 Δ t = sem - 1 ⁡ 1 3 - sem - 1 ⁡ - 1 3

Δ t = 1 600 sen - 1 ⁡ 1 3 - sen - 1 ⁡ - 1 3

Aqui vai um bizu muito importante!

Esses valores de ângulos que iremos encontrar a partir do s e n - 1 são ângulos que precisam estar em radianos para que tudo dê certo!

No próximo passo nós vamos encontrar esses caras, então é preciso dar uma olhada na sua calculadora para ver se ela está trabalhando em radianos, beleza? Se ela estiver trabalhando em graus, precisa configurar ela pra trabalhar em radianos.

Passo 3

Show de bolinhas, agora se a gente jogar os valores inversos dos senos, vamos obter que o tempo que um ponto na corda leva para se deslocar será:

Δ t = 1 600 sen - 1 ⁡ 1 3 - sen - 1 ⁡ - 1 3

Δ t = 1 600 0,34 - - 0,34

Logo:

Δ t = 0,68 600

Δ t = 1,1 × 10 - 3   s

E passando para milissegundos, vamos ter que:

Δ t = 1,1   ms

Resolvido!

Resposta

Leva 1,1   ms .

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