Enunciado

Quando uma estátua pesada de alumínio é dependurada em um fio de aço, a frequência fundamental das ondas estacionárias transversais no fio é igual a 250   H z . A seguir a estátua (mas não o fio) é completamente submersa na água.

a) Qual é a nova frequência fundamental? (Sugestão: use a Tabela 14.1).

b) Por que é uma boa aproximação considerar o fio como se estivesse fixo nas duas extremidades?

Passo 1

A frequência fundamental é dada pela equação:

f 1 = v 2 L

Onde:

v = F / μ

Quando a estátua é submerça na água temos uma força de flutuação que a água exerce na estátua e essa força reduz a tensão no fio. Essa é dada pela equação:

B = ρ f l u i d o V s u b m e r ç o g

A nossa estátua é feita de alumínio e o fluido é a água. Podemos utilizar a tabela 14.1 para encontra a densidade destes materiais.

ρ a l u = 2700   k g / m 3

ρ a g u a = 1000   k g / m 3

Como a estátua está completamente dentro da água, o volume submerso é igual ao volume da estátua.

Passo 2

a) Neste caso teremos duas frequências fundamentais, uma no ar que é quando a estátua está completamente fora da água e a frequência fundamental na água que acontece quando a estátua está completamente submersa. Sendo assim teremos:

f a r = v a r 2 L

f á g u a = v á g u a 2 L

O comprimento 2 L será o mesmo nas duas situações logo podemos igualar as equações ficando com:

f a r v a r = f á g u a v á g u a

Então a frequência fundamental na água será:

f á g u a = f a r v á g u a v a r

Para calcular a razão das velocidades, podemos fazer:

v á g u a v a r = F á g u a μ   F a r μ = F á g u a F a r

Aqui μ é igual para os dois pois o fio não muda.

A tensão no ar pode ser encontrada a partir da força peso.

F a r = m g = ρ a l u V g

A tensão na água pode ser encontrada a partir da diferença entre a força peso e a força de flutuação que a água exerce sobre a estátua.

F á g u a = m g - B = ρ a l u V g - ρ á g u a V g

Voltando esses resultados na razão das velocidades:

v á g u a v a r = ρ a l u V g - ρ á g u a V g ρ a l u V g = ρ a l u - ρ á g u a ρ a l u = 1 - ρ á g u a ρ a l u

Como temos todos os valores, agora conseguimos encontrar a frequência fundamental na água.

f á g u a = f a r v á g u a v a r = 250   H z 1 - 1000   k g / m ³ 2700   k g / m ³

f á g u a = 198   H z

Passo 3

b) É rasoavél considerar o fio preso em ambas as extremidades pois assim podemos desconsiderar a força de flutuação no fio quando a estátua é submersa.

Resposta

a)   f á g u a = 198   H z

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