Enunciado

61. Diagrama de fasores para oito fendas. Uma figura de interferência é formada por oito fendas estreitas igualmente espaçadas. A Figura 36.14 mostra diagramas de fasores para os casos em que a diferença de fase ϕ entre duas ondas provenientes de fendas adjacentes é dada por ϕ = π ,   ϕ = π / 4 e ϕ = π / 2 . Cada um desses casos fornece um mínimo. A legenda da Figura 36.14 também afirma que podem ocorrer mínimos para ϕ = 3 π / 4 ,   ϕ = 5 π / 4 ,   ϕ = 3 π / 2 e ϕ = 7 π / 4 . a ) Desenhe um diagrama de fasores para cada um desses casos e explique por que cada diagrama prova de fato a existência de um mínimo. (Neta: talvez você ache útil usar uma cor diferente para cada fenda!) b ) Em cada um dos quatro casos ϕ = 3 π / 4 ,   ϕ = 5 π / 4 ,   ϕ = 3 π / 2 e ϕ = 7 π / 4 , em quais pares de fendas ocorre interferência destrutiva total?

Passo 1

Então galera, esse exercício em sua maior parte é desenhar o diagrama de fasores e vamos tomar como exemplo a figura 36.14 .

Uma observação é que como temos oito fendas teremos oito fasores.

Explicando de forma simples teremos que desenhar cada fasor com a inclinação referente a cada fase que estamos analisando onde vamos ligar o final de um com o início do outro, na figura 36.14 do livro você pode notar isso.

Passo 2

Vamos lá então.

Primeiro para ϕ = 3 π / 4 que é a mesma coisa que 135 ° . Temos:

Nós temos mínimo porque a soma de todos os fasores das oito fendas soma zero. Eles formam um caminho fechado.

Passo 3

Agora para ϕ = 5 π / 4 que é a mesma coisa que 22 5 ° ou - 135 ° . Temos:

Nós temos mínimo porque a soma de todos os fasores das oito fendas soma zero. Eles formam um caminho fechado.

Passo 4

Agora para ϕ = 3 π / 2 que é a mesma coisa que 2 70 ° ou - 90 ° . Temos:

Nós temos mínimo porque a soma de todos os fasores das oito fendas soma zero. Eles formam um caminho fechado.

Passo 5

Agora para ϕ = 7 π / 4 que é a mesma coisa que 315 ° ou - 45 ° . Temos:

Nós temos mínimo porque a soma de todos os fasores das oito fendas soma zero. Eles formam

um caminho fechado.

Passo 6

Então vamos analisar o que é pedido em ( b ) .

Para que tenhamos interferência totalmente destrutiva temos que ter uma diferença de fase ϕ = 2 n + 1 π ou seja números ímpares multiplicados por π .

Dos diagramas de fasores vemos que cada fenda contribui com uma diferença de fase ϕ .

Para o caso em que ϕ = 3 π / 4 , vemos que a cada 4 fendas temos ϕ = 3 π , logo interferência totalmente destrutiva.

Para o caso em que ϕ = 5 π / 4 , vemos que a cada 4 fendas temos ϕ = 5 π , logo interferência totalmente destrutiva.

Para o caso em que ϕ = 3 π / 2 , vemos que a cada 2 fendas temos ϕ = 3 π , logo interferência totalmente destrutiva.

Para o caso em que ϕ = 7 π / 2 , vemos que a cada 4 fendas temos ϕ = 7 π , logo interferência totalmente destrutiva.

Resposta

( a )

Para ϕ = 3 π / 4 :

Para ϕ = 5 π / 4 :

Para ϕ = 3 π / 2 :

Para ϕ = 7 π / 4 :

( b )

Para ϕ = 3 π / 4 , ϕ = 5 π / 4 , ϕ = 7 π / 4 temos interferência totalmente destrutiva a cada 4 fendas e para ϕ = 3 π / 2 temos interferência totalmente destrutiva a cada 2 fendas.

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