Enunciado

64. Na Equação ( 36.12 ) , considere o caso d = a . Faça um desenho e mostre que esse caso se reduz à situação de uma única fenda com largura 2 a . A seguir, mostre que a Equação ( 36.12 ) se transforma na Equação ( 36.5 ) para uma única fenda com largura 2 a .

Passo 1

Então nesse problema só temos que pegar a equação 36.12 e substituir d = a e ir mexendo para chegar em 36.5 .

O desenho que o enunciado pede não é nada demais é só o seguinte:

Passo 2

Agora vamos mexer com a equação 36.12 , dada por:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ / 2 sen 2 ⁡ β / 2 β / 2 2

Sendo que

β = 2 π a λ sen ⁡ θ

Precisamos de apenas mais uma informação, que é:

ϕ = 2 π d λ sen ⁡ θ

Como estamos analisando o caso que d = a , então temos que

ϕ = β

Assim a equação 36.12 fica da seguinte forma:

I = I 0 cos 2 ⁡ β / 2 sen 2 ⁡ β / 2 β / 2 2

= I 0 2 sen ⁡ β / 2 cos ⁡ β / 2 2 β 2

Agora vamos usar uma identidade trigonométrica para conseguirmos simplificar essa expressão, temos:

sen ⁡ 2 θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ

= 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Então nossa equação fica da seguinte forma:

I = I 0 sen 2 ⁡ β β 2

Agora vamos fazer uma substituição, vamos chamar β = β ' / 2 , assim:

β ' = 2 2 π a λ sen ⁡ θ

= 2 π ( 2 a ) λ sen ⁡ θ

Onde 2 a é a largura a fenda.

Então temos que:

I = I 0 sen 2 ⁡ ( β ' / 2 ) ( β ' / 2 ) 2

Que é a equação 36.5 para uma fenda única de largura 2 a .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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