Enunciado

65 . Você é um engenheiro industrial de uma empresa de entregas. Como parte do sistema de manuseio de pacotes, uma pequena caixa com massa de 1,60   k g é colocada contra uma mola leve comprimida em 0,280   m . A mola tem constante de força k = 45,0   N / m . A mola e a caixa são liberadas do repouso e a caixa trafega por uma superfície horizontal para a qual o coeficiente de atrito cinético com a caixa é μ c = 0,300 . Quando a caixa tiver percorrido 0,280   m e a mola tiver atingido seu comprimento de equilíbrio, a caixa perde contato com a mola. ( a ) Qual é a velocidade da caixa no instante em que ela deixa a mola? ( b ) Qual é a velocidade máxima da caixa durante seu movimento?

Passo 1

O segredo desse problema é usar a conservação de energia ao nosso favor, mas temos que nos atentar que nesse sistema temos uma força dissipativa (força de atrito) que realiza trabalho, então temos que:

Δ K + Δ U = W

⇒ K f - K i + U f - U i = W

Segundo o enunciado temos que a caixa parte do repouso, logo K i = 0 , e que no momento final a mola já não está mais comprimida logo a energia potencial elástica U f = 0 , assim:

K f - U i = W

Através dessa equação podemos encontrar a velocidade da caixa pedida em ( a ) .

Agora para o item ( b ) também vamos usar a conservação de energia mais agora vamos definir x i como sendo a compressão inicial da mola e x f como sendo a compressão da mola onde temos a maior velocidade para a caixa.

Tendo essa expressão vamos derivá-la e achar o valor de x f que faz com essa derivada der zero, que corresponde a posição de maior velocidade.

Passo 2

Primeiro vamos chegar na expressão para o trabalho dissipado pela força de atrito, temos que o trabalho é dado por:

W = F d

No nosso caso F é a força de atrito cinético que é dada por:

F c = μ c m g

Então temos que:

W = μ c m g d

Mas como a força de atrito é uma força dissipativa, temos que:

W = - μ c m g d

Passo 3

Agora vamos achar a velocidade pedida em ( a ) .

Temos o seguinte:

K f - U i = W

⇒ 1 2 m v f 2 - 1 2 k x i 2 = - μ c m g d

Agora vamos isolar v f , temos:

v f = - 2 μ c g d + k x i 2 m

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

v f = - 2 ( 0,3 ) ( 9,8 ) ( 0,28 ) + ( 45 ) 0,28 2 1,6

= - 1,65 + 2,2

Assim temos que:

v f = 0,74   m / s

Passo 4

Agora vamos achar a velocidade máxima da caixa que o item ( b ) quer saber.

Mas agora a distância d percorrida pela caixa onde ela sofre a força de atrito é dada por d = x i - x f , sabendo disso a conservação de energia fica da seguinte forma:

K f + U f - U i = W

⇒ 1 2 m v f 2 + 1 2 k x f 2 - 1 2 k x i 2 = - μ c m g ( x i - x f )

⇒ v f 2 + k x f 2 m - k x i 2 m = - 2 μ c g ( x i - x f )

⇒ v f 2 = - 2 μ c g x i - x f - k x f 2 m + k x i 2 m

Passo 5

Agora vamos derivar a função v f 2 em função de x f e igualar a zero para achar o x f que faz v f ser máximo e aí calculamos esse valor. Vamos lá!

d v f 2 d x f = 2 μ c g - 2 k x f m = 0

⇒ x f = μ c g m k

Agora vamos jogar esse valor de x f na última equação do passo 4 , temos:

v f 2 = - 2 μ c g x i - μ c g m k - k m μ c g m k 2 + k x i 2 m

⇒ v f 2 = - 2 μ c g x i - μ c g m k - μ c 2 g 2 m k + k x i 2 m

⇒ v f 2 = - 2 μ c g x i + μ c 2 g 2 m k + k x i 2 m

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

v f 2 = - 2 0,3 9,8 0,28 + 0,3 2 9,8 2 ( 1,6 ) 45 + 45 0,28 2 1,6

v f 2 = - 1,646 + 0,307 + 2,205

Com isso temos que:

v f = 0,93   m / s

Com isso finalmente terminamos essa questão!!

Resposta

a

v f = 0,74   m / s

b

v f = 0,93   m / s

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