Enunciado

66 . Você recebe esta tabela de dados registrados para um circuito com um resistor, um indutor com resistência desprezível e um capacitor, todos em série com uma fonte de tensão c a :

Aqui, f é a frequência da fonte de tensão, Z é a impedância do circuito e ϕ é o ângulo de fase. ( a ) Use os dados nas duas frequências para calcular a resistência do resistor. (Dica: use os resultados do Exercício 31.21.) Calcule a média desses dois valores da resistência e use os resultados como o valor de R no restante da análise. ( b ) Use os dados em 80   H z e 160   H z para calcular a indutância L e a capacitância C do circuito. ( c ) Qual é a frequência de ressonância para o circuito, e quais são a impedância e o ângulo de fase da frequência de ressonância?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa juntos!

Para encontrar a resistência do resistor pedido em ( a ) podemos usar que:

cos ⁡ ϕ = R Z

Podemos calcular o valor de R para as duas frequências e tirar um média para saber o melhor valor de R .

Para o item ( b ) temos que encontrar L e C , para isso podemos usar a seguinte equação:

tg ⁡ ϕ = ω L - 1 ω C R

Vamos usar essa equação para cada frequência e mexer nas expressões para encontrarmos C e L .

Para encontrar a frequência de ressonância em ( c ) , podemos usar que:

f = 1 2 π L C

Como estamos em ressonância, temos que X C = X L .

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Para a frequência de 80   H z , temos:

R = Z cos ⁡ ϕ

⇒ R = 15 cos ⁡ ( - 71 ° )

⇒ R = 4,88   Ω

Para 160   H z , temos:

R = Z cos ⁡ ϕ

⇒ R = 1 3 cos ⁡ ( 6 7 ° )

⇒ R = 5,08   Ω

Tirando uma média dessas resistências, temos:

4,88 + 5,08 2 = 5   Ω

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Vamos começar com a frequência de 80   H z , temos:

tg ⁡ ϕ = ω L - 1 ω C R

Lembrando que ω = 2 π f , temos:

tg ⁡ ( - 71 ) = 2 π ( 80 ) L - 1 2 π ( 80 ) C 5

⇒ - 14,52 = 160 π L - 1 160 π 1 C

Agora para a frequência de 160   H z , temos:

tg ⁡ ϕ = ω L - 1 ω C R

tg ⁡ ( 67 ) = 2 π ( 16 0 ) L - 1 2 π ( 16 0 ) C 5

⇒ 11,78 = 320 π L - 1 320 π 1 C

Agora vamos multiplicar a primeira equação por - 2 e somar com a segunda, assim:

40,82 = 1 80 π 1 C - 1 320 π 1 C

⇒ 40,82 = 1 C 1 80 π - 1 320 π

⇒ 40,82 = 1 C 0,00298

Assim temos que:

C = 7,3 × 10 - 5   F

Passo 4

Agora vamos jogar esse valor de C em uma das equações do passo anterior e vamos encontrar L .

Temos que:

- 14,52 = 160 π L - 1 160 π 1 C

⇒ - 14,52 = 160 π L - 1 160 π 1 ( 7,3 × 10 - 5 )

⇒ - 14,52 = 160 π L - 27,25

⇒ L = 12,73 160 π

Assim temos que:

L = 2,53 × 10 - 2   H

Passo 5

Agora vamos para o item ( c ) e encontrar a frequência de ressonância. Temos:

f = 1 2 π ( 2,53 × 10 - 2 ) ( 7,3 × 10 - 5 )

⇒ f = 117,1   H z

Agora como estamos em ressonância, temos que X C = X L , a equação da impedância é dada por:

Z = R 2 + X L - X C 2

Então temos que:

Z = R = 5   Ω

E como:

R = Z cos ⁡ ϕ

Temos que ϕ = 0 .

Com isso finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

R = 5   Ω

( b )

C = 7,3 × 10 - 5   F

L = 2,53 × 10 - 2   H

( c )

f = 117,1   H z

Z = R = 5   Ω

ϕ = 0

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