Enunciado

Um objeto em movimento harmônico simples tem amplitude de 4,0 cm e frequência de 4,0 Hz e, em t = 0 s, passa pelo ponto de equilíbrio se movendo para a direita. Escreva a função x ( t ) que descreve a posição do objeto.

Passo 1

Sabemos que a função que descreve um movimento harmônico simples é dada por:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ 0

O exercício nos forneceu os seguintes parâmetros:

  • A = 4,0   c m ;
  • f = 4,0   H z .
  • Em t = 0 a partícula passa pelo ponto de equilíbrio, movendo-se para a direita.

Assim, falta determinar ω e ϕ 0 .

Passo 2

Para calcular ω , basta lembrar da relação entre ω e f :

ω = 2 π f ω = 2 π 4,0 ω = 8 π   r a d / s

Passo 3

Para calcular ϕ 0 , note que x 0 = 0 . Assim, temos que

x 0 = A cos ⁡ ϕ 0 0 = A cos ⁡ ϕ 0 cos ⁡ ϕ 0 = 0

Logo, temos dois valores possíveis para ϕ 0 :

  1. ϕ 0 = π / 2 ;
  2. ϕ 0 = 3 π / 2

Como escolher qual é o certo? Note que temos a informação de que em t = 0 ele está movendo para a direita. Sendo assim, como:

v t = - A ω sin ⁡ ω t + ϕ 0 v 0 = - A ω sin ⁡ ϕ 0

Logo, para que v 0 > 0 , devemos ter sin ⁡ ϕ 0 < 0 . Disso, segue que ϕ 0 = 3 π / 2 .

Logo, temos

x t = 4,0 cos ⁡ 8 π t + 3 π 2

Resposta

A função é x t = 4,0 cos ⁡ 8 π t + 3 π 2 .

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