69- O fio na Figura 68.61 conduz uma corrente I no sentido indicado. O fio é constituído por uma seção retilínea longa, uma seção correspondente a um quarto de circunferência e outra seção retilínea longa. Calcule o módulo, a direção e o sentido do campo magnético resultante no centro de curvatura da seção correspondente a um quarto de circunferência (ponto P ).

Passo 1

Queremos calcular o campo magnético B produzido por uma corrente que viaja através de um fio. A quantidade diferencial de campo magnético devida a uma contribuição infinitesimal de corrente é dada por:

d B = μ 0 4 π I d l × r r 3

É importante considerar a configuração dos fios, pois se a seção infinitesimal de fio d l e o vetor posição r dessa seção de fio até o ponto de interesse onde o campo magnético será medido forem paralelos, essa seção de fio não contribuirá para o campo magnético porque:

d l × r = 0

No caso deste problema, apenas a seção de um quarto de círculo dará um campo magnético não nulo em P , como veremos.

Passo 2

O campo magnético é calculado da seguinte forma:

d B = μ 0 4 π I d l × r r 3

De acordo com a figura, a única contribuição para o campo magnético em P será dada pelo quarto de círculo. Isso ocorre porque, para as seções retas, temos d l paralelo a r , e, portanto, para tais seções, temos d l × r = 0 .

Considerando que a configuração espacial da corrente está localizada no plano x y , com a origem do sistema de coordenadas em P , o campo magnético será

d B → = μ 0 4 π I R d θ θ ^ × R - r ^ R 3 = μ 0 I 4 π R θ ^ × - r ^ d θ = μ 0 I 4 π R k ^ d θ

Depois da integração teremos:

B → = μ 0 I 4 π R k ^ ∫ 0 π 2   d θ = μ 0 I 4 π R k ^ π 2

Então o campo magnético é:

B → = μ 0 I 8 R k ^

Resposta

B = μ 0 I 8 R ; s a i n d o   d a   p á g i n a ;   + k

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