Enunciado

73. Sobre uma mesa sem atrito, um bloco está preso entre duas molas de constantes elásticas k 1 e k 2 , como mostra a FIGURA P14.73. Demonstre que a freqüência de oscilação do bloco é determinada por

f = f 1 2 + f 2 2

onde f 1 e f 2 são as frequências com que ele oscilaria se estivesse preso somente à mola 1 ou à mola 2 .

Passo 1

Opa! Hey brother! Bora pra mais uma questãozinha sobre Ondulatória!

Se liga só! Pra entendermos melhor o nosso problema, bora fazer um diagrama de corpo livre com as forças que estão atuando no bloco.

E aqui está...

Bom! Por essa figura, podemos ver que as duas forças exercidas pela mola tem efeito restaurador, e apontando para a esquerda. No caso, o bloco deve estar se movendo para a direita.

Passo 2

Desse modo, fazendo o somatório das forças na direção horizontal com sentido positivo para direita, obtemos que...

→ + ∑ F x = - F 1 - F 2 = - k 1 x - k 2 x

Essas duas forças juntas tem como resultante uma força que chamaremos de F r e s , com mesmo sentido das outras. Isso acontece porque o significado da associação de molas nos diz que as duas molas podem ser substituídas por uma única mola cuja constante é a constante resultante da associação...

E o deslocamento dessa força resultante F r e s ; adivinha só!? É exatamente o mesmo deslocamento x produzido pelas forças F 1 e F 2 . Sendo assim...

- F 1 - F 2 = - F r e s

- k 1 x - k 2 x = - k r e s x

k r e s = k 1 + k 2

Passo 3

Desse modo, considerando como se houvesse uma única mola no sistema, bora usar a velha e conhecida fórmula da frequência, considerarando é claro, a constante de mola resultante k r e s ...

f = 1 2 π k r e s m

f = 1 2 π k 1 + k 2 m

f = k 1 + k 2 4 π 2 m

f = k 1 4 π 2 m + k 2 4 π 2 m

Como a frequência da mola 1 é...

f 1 = 1 2 π k 1 m

f 1 = 1 2 π k 1 m

f 1 = k 1 4 π 2 m

E a da mola 2 é...

f 2 = 1 2 π k 2 m

f 2 = 1 2 π k 2 m

f 2 = k 2 4 π 2 m

Então;

f = k 1 4 π 2 m + k 2 4 π 2 m

f = f 1 2 + f 2 2

E voilà! Demonstração feita!

Resposta

f = f 1 2 + f 2 2

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