Enunciado

70. A amplitude de um oscilador com massa de 500   g e período de 0,50   s diminui em 2,0 % durante cada oscilação que ele efetua.

a. Se a amplitude inicial for de 10   c m , qual será a amplitude após 25 oscilações?

b. Em que instante a energia terá decaído para 60 % de seu valor inicial?

Passo 1

Opa! Hey brother! Bora pra mais uma questãozinha sobre Ondulatória!

a) Se liga só! Pelo enunciado, onde diz que a nossa amplitude diminui em cada oscilação efetuada, tá na cara que o nosso oscilador é amortecido.

Sendo assim, bora usar a seguinte equação abaixo que descreve a posição dele em função do tempo...

x t = A 0 e - t / 2 τ

Esse A 0 é a nossa amplitude inicial, que o enunciado diz ser de 10   c m . Como a questão nos diz que a amplitude diminui em 2,0 % durante cada oscilação, então a amplitude após uma volta será de...

x t = 0,98 A 0

Voltando a fórmula da posição do oscilador; isolemos o ( - t / 2 τ ) ...

x t = A 0 e - t / 2 τ

x t A 0 = e - t / 2 τ

ln ⁡ e - t / 2 τ = ln ⁡ x t A 0

- t 2 τ = ln ⁡ x t A 0

Como x ( t ) após uma oscilação é 0,98 A 0 ; então...

- t 2 τ = ln ⁡ 0,98 A 0 A 0

- t 2 τ = ln ⁡ 0,98

Isolando o τ e substituindo o valor de t de 0,50   s ...

τ = - t 2 ⋅ ln ⁡ 0,98

τ = - 0,50   s 2 ⋅ ln ⁡ 0,98

τ = 12,375   s

Esse τ é a chamada constante de tempo!

Passo 2

Agora pensa só, amigão!

Uma oscilação é completada em t = 0,5   s . Bom! Tá na cara que o tempo pra que 25   oscilações sejam completadas, é igual a...

t t o t a l = 25 t

t t o t a l = 25 ⋅ ( 0,5   s )

t t o t a l = 12,5   s

Desse modo, pegando aquela equação de x ( t ) de antes, a amplitude após 25 oscilações será de...

x t = A 0 e - t t o t a l / 2 τ

x t = ( 10   c m ) e - ( 12,5   s ) / 2 12,375   s  

x t ≅ 6,0   c m

Isso aí garotinho! A amplitude será de aproximadamente 6,0   c m !

Passo 3

c) Quanto ao decaimento de energia... Bom! Ele pode ser obtido através da seguinte fórmula abaixo...

E t = E 0 e - t / τ

Quando a energia é igual a 60 % do valor inicial, então...

E t = 0,6 E 0

E então, obtemos que...

E t = E 0 e - t / τ

e - t / τ = E t E 0

e - t / τ = 0,6 E 0 E 0

e - t / τ = 0,6

Aplicando l n em ambos os lados e isolando t ...

ln ⁡ e - t / τ = ln ⁡ 0,6

- t τ = ln ⁡ 0,6

Como τ = 12,375   s ; então...

- t τ = ln ⁡ 0,6

t = - τ ⋅ ln ⁡ 0,6

t = - ( 12,375   s ) ⋅ ln ⁡ 0,6

t ≅ 6,3   s

Resposta

a) 6,0   c m

b) 6,3   s

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