Enunciado

75 - Números complexos em um circuito. A voltagem através de um dado elemento em um circuito CA não está necessariamente em fase com a corrente que passa através desse elemento. Portanto, as amplitudes das voltagens através dos elementos ligados em uma dada malha do circuito não podem ser somadas algebricamente para se determinar a voltagem total. Um método geralmente usado para simplificar a análise de um circuito CA alimentado por uma fonte de tensão consiste em representar Z como um número complexo. A parte real do número complexo é a resistência R da impedância, e a reatância X = X L - X C   é a parte imaginária. Portanto, para um ramo do circuito com um resistor, um indutor e um capacitor em série, a impedância complexa é dada pelo número complexo Z c p x = R + i X , em que   i 2 = - 1 . Se a amplitude da voltagem através do ramo do circuito é V c p x definimos uma amplitude de corrente complexa através da relação I c p x = V c p x / Z c p x . A amplitude da corrente real é dada pelo módulo da amplitude de corrente complexa, ou seja, I = I c p x * I c p x 1 / 2 .O ângulo de fase o da corrente em relação à voltagem da fonte é dada pela expressão t g ϕ = I m I c p x / R e I c p x . As amplitudes das voltagens V R c p x , V L c p x e V C c p x através do resistor, do indutor e do capacitor, respectivamente, são obtidas multiplicando-se I c p x por R , i X L , e i X C , respectivamente. Usando a representação complexa para as amplitudes das voltagens, a voltagem total através de um ramo do circuito é simplesmente dada pela soma algébrica das voltagens através de cada elemento do circuito: V e p x = V R c p x + V L c p x + V C c p x . O valor efetivo de qualquer amplitude de corrente ou amplitude de voltagem é o valor absoluto da grandeza complexa correspondente.

Considere o circuito R-L-C em série indicado na Figura. Os valores dos elementos dos circuitos da amplitude da voltagem da fonte e da frequência angular da fonte são indicados na figura. Use a técnica do diagrama de fasores apresentada na Seção 31.1 para determinar uma expressão para:

  1. A amplitude da corrente;
  2. O ângulo de fase ϕ da corrente em relação à tensão da fonte. (Observe que esse ângulo de fase é igual e de sinal contrário ao ângulo de fase definido na Figura 31.13.) Analise agora o mesmo circuito usando o método dos números complexos.
  3. Determine a impedância complexa do circuito, Z c p x . Tome o valor absoluto desse número complexo para obter o valor de Z , a impedância efetiva do circuito.
  4. Suponha que a amplitude da voltagem da fonte, V c p x , seja real e calcule a amplitude da corrente I c p x . Determine a amplitude da corrente efetiva calculando o valor absoluto de I c p x .
  5. Calcule o ângulo de fase ϕ da corrente em relação à amplitude da voltagem da fonte usando as partes reais e imaginárias do número complexo I c p x , como explicado anteriormente.
  6. Calcule a representação complexa das voltagens através do resistor, do indutor e do capacitor.
  7. Somando as respostas encontradas na parte (f), verifique se a soma desses números complexos é real e igual a 200   V , a tensão fornecida pela fonte.

Passo 1

L e t r a   A :

Poxa, vimos que a corrente pode ser encontrada...

I = V Z

Onde o módulo de Z nada mais é do que essa raiz aqui...

I = V R 2 + ω L - 1 ω C 2   →

Substituindo-se os valores de ω , V , L , C e R mostrados na figura...

I = 200 400 2 + 1000 ⋅ 0,5 - 1 1000 ⋅ 1,25 ⋅ 10 - 6 2 =

0,4   A

Passo 2

L e t r a   B :

Bem, sabemos também que o ângulo de entre a corrente e a tensão é dado por:

ϕ = arctan ⁡ ω L - 1 ω C R     →

Então, substituindo-se tudo...

ϕ = arctan ⁡ 1000 ⋅ 0,5 - 1 1000 ⋅ 1,25 ⋅ 10 - 6 400 =

36,9 °

Passo 3

L e t r a   C :

Pela teoriasinha da questão, podemos representar a nossa impedância complexa por:

Z = R + i X

Onde R é a resistência e X é a reatância total (dada pela subtração da reatância indutiva pela capacitiva):

Z c p x = R + i X L - X C

Lembrando-se de que as reatâncias nada mais são do que...

Z c p x = R + i ω L - 1 ω C   →

Então a impedância complexa no nosso caso é...

Z c p x = 400 + i 1000 ⋅ 0,5 - 1 1000 ⋅ 1,25 ⋅ 10 - 6   →

Z c p x = 400 - i 300  

O módulo ou valor absoluto da nossa impedância é dado por Pitágoras entre a parte real e a parte imaginária:

Z c p x = 400 2 + - 300 2 =

500 Ω

Passo 4

L e t r a   D :

Ora, a corrente complexa é quase a mesma coisa que a corrente absoluta, mas agora considerando a impedância complexa:

I c p x = V Z c p x   →

I c p x = 200 400 - i 300

Dividindo todo mundo por 100 , a gente dá uma simplificada...

I c p x = 2 4 - i 3

Agora multiplicando pelo conjugado para transformar I c p x em um número complexo da forma que conhecemos...

I c p x = 2 4 - 3 i ⋅ 4 + 3 i 4 + 3 i   →

I c p x = 8 + 6 i 4 - 3 i   →

I c p x = 8 + 6 i 4 - 3 i 4 + 3 i   →

Aplicando a propriedade de que a + b a - b = a 2 - b 2 ...

I c p x = 8 + 6 i 4 2 - 3 2 i 2   →

E se lembrando de que i 2 = - 1 ...

I c p x = 8 + 6 i 16 + 9   →

I c p x = 8 25 + 6 25 i   A

Sacou? Para obter a corrente absoluta, basta fazer Pitágoras entre a parte real e imaginária:

I = 8 25 2 + 6 25 2   →

I = 0,4 A

Que é exatamente a mesma coisa que obtivemos na letra a !

Passo 5

L e t r a   E :

Para encontrar o ângulo entre a corrente e tensão, podemos usar novamente a teoriasinha do enunciado que nos diz que...

t g ϕ = I m I c p x / R e I c p x

Então o ângulo ϕ será...

ϕ = arctan ⁡ I m I c p x R e I c p x →

Sendo a parte imaginária o valor que acompanha i e a real a parte que não acompanha...

ϕ = arctan ⁡ 6 / 25 8 / 25 →

ϕ = 36,9 °

Passo 6

L e t r a   F :

A tensão complexa em cima do resistor pode ser dada por...

V R c p x = I c p x R   →

Substituindo-se...

V R c p x = 8 25 + 6 25 i   400   →

V R c p x = 128 + 96 i V

Já a tensão complexa em cima da indutância é quase a mesma coisa que fazíamos para obter a tensão real: V L = X L I , mas dessa vez consideramos um i na frente, além de considerar a corrente complexa, claro:

V L c p x = i X L I c p x   →

Então...

V L c p x = i ω L I c p x   →

V L c p x = i 1000 ⋅ 0,5 I c p x   →

V L c p x = i 500 8 25 + 6 25 i     →

V L c p x = 160 i + 120 i 2   →

Considerando i 2 = - 1 ...

V L c p x = 160 i - 120 V

Vamos fazer o mesmo para a tensão em cima do capacitor, mas dessa vez considerando - i na frente da reatância...

V C c p x = - i X C I c p x →

V C c p x = - i ω C I c p x

Substituindo tudo...

V C c p x = - i 1000 ⋅ 1,25 ⋅ 10 - 6 8 25 + 6 25 i     →

V C c p x = - i 800 8 25 + 6 25 i     →

V C c p x = - 256 i + 192 i 2   →

V C c p x = 192 - 256 i  

Passo 7

L e t r a   G :

Bem, para somar as três, basta substitui-las...

V = V R c p x + V L c p x + V C c p x   →

E somar valor real com real e imaginário com imaginário. No nosso caso a parte imaginária vai se cancelar...

V = 128 + 96 i + 160 i - 120 + 192 - 256 i   →

V = 200

Que é exatamente o mesmo valor da tensão da fonte!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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