Enunciado

74 - (c) Para qual frequência angular a amplitude da voltagem através do capacitor atinge seu valor máximo em um circuito R-L-C em série?

Passo 1

Ora, a amplitude da tensão em um capacitor é...

V C = 1 ω C I

Onde a corrente em um circuito RLC em série vale...

I = V R 2 + ω L - 1 ω C 2

Onde V é a tensão da fonte (uma constante)...

V C = 1 ω C V R 2 + ω L - 1 ω C 2

Para encontrar o valor máximo da amplitude de V C com a variação de ômega, precisamos lembrar que encontrar um máximo, significa igualar a deriva da função a 0 . Considerando V C como uma função de ω então...

d V C d ω = 0     →

d d ω V C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0

Bora calcular essa derivada?

Passo 2

Primeiro precisamos aplicar a regra do fração, ou seja...

d d ω V C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 = V / C ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 - V / C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 2   →

Igualando-se a 0 para ficar mais enxuto, lembrando-se de que em uma fração para ser 0 o numerador deve ser 0 ...

V / C ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 - V / C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 2 = 0   →

V / C ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 - V / C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0

A derivada do primeiro parênteses é tranquila...

V / C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0 →

ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0

Já a derivada do segundo, precisamos nos lembrar da derivada do produto (além disso aplicar a regra da cadeia)...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0 →

R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω 1 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 ⋅ R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0 →

Simplificando então, colocando o mesmo denominador...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω 2 ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0 →

R 2 + ω L - 1 ω C 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0 →

E colocando em evidência...

1 R 2 + ω L - 1 ω C 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 = 0   →

Para isso ser 0 , o parênteses deve ser 0 :

R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 = 0   →

Colocando em evidência...

R 2 + ω L - 1 ω C ω L - 1 ω C + ω L + 1 C ω 2 = 0   →

E simplificando o termo dos colchetes...

R 2 + ω L - 1 ω C ω L - 1 ω C + ω L + 1 ω C = 0   →

Vamos obter...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 ω L = 0   →

R 2 + 2 ω 2 L 2 - 2 L C = 0   →

2 ω 2 L 2 = 2 L C - R 2 →

Isolando ω ...

ω 2 = 1 L C - R 2 2 L 2 →

ω = 1 L C - R 2 2 L 2

E essa é a frequência angular para a tensão máxima sobre o capacitor!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verdadeiro ou falso: a Em frequências muito maiores ou muito menores que a frequência de ressonância de um circuito R L C em série forçado, o fator de potência é próximo de zero. b Quanto maior for a
Verdadeiro ou falso: ( a ) Um transformador é usado para variar frequência. ( b ) Um transformador é usado para variar tensão. ( c ) Se um transformador amplifica a corrente, ele deve reduzir a tensão
Um transformador ideal de N 1 voltas no seu primário e N 2 voltas no seu secundário. A potência média fornecida para uma resistência R conectada ao secundário é P 2 quando a tensão no primário é V 1 .
Uma aplicação do filtro passa-altas do Problema 44 é um filtro de ruído para circuito eletrônicos (um filtro que bloqueia ruídos de baixa frequência). Usando um valor de resistência de 20k Ω , determi
Mostre que a expressão P m é d = R ε r m s 2 / Z 2 é fornece o resultado correto para um circuito contendo apenas um gerador ac ideal e (a) um resistor; (b) um capacitor e (c) um indutor. Na expressão