Enunciado

76. Considere o circuito indicado na Figura 30.33 . Os elementos do circuito possuem os valores ε = 32,0   V , L = 0,640   H , C = 2,0   μ F e R = 400   Ω . A chave S é fechada para t = 0 . A corrente i 1 passa através do indutor, a corrente i 2 , passa através do capacitor e a carga no capacitor é igual a q 2 . ( a ) Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, verifique as seguintes equações:

R i 1 + i 2 + L d i 1 d t = ε

R i 1 + i 2 + q 2 C = ε

( b ) Quais eram os valores iniciais de i 1 ,   i 2 e q ? ( c ) Por meio de substituição direta nas equações do item ( a ) , mostre que i 1 e q 2 satisfazem essas equações. Mostre que elas também satisfazem as condições iniciais

i 1 = ε R 1 - e - β t 2 ω R C - 1 sin ⁡ ω t + cos ⁡ ω t

q 2 = ε ω R e - β t sin ⁡ ω t

Em que β = 2 R C - 1 e ω = L C - 1 - 2 R C - 2 1 / 2 . ( d ) Determine o tempo t 1 para o qual i 2 torna-se igual a zero pela primeira vez.

Passo 1

Antes de começarmos a resolver tenho que apontar um errinho no enunciado, é a falta de colchetes para indicar que a exponencial está multiplicando os termos do seno e do cosseno na condição inicial de i 1 , então a equação fica da seguinte maneira:

i 1 = ε R 1 - e - β t [ 2 ω R C - 1 sin ⁡ ω t + cos ⁡ ω t ]

Pronto, agora podemos continuar.

Para resolver o item ( a ) o enunciado já nos fala o que fazer, que é usar a lei das malhas. Mas nossa corrente toma dois caminhos diferentes.

Para facilitar a nossa vida podemos analisar esses dois percursos separadamente um do outro.

Para esses dois caminhos vamos utilizar a lei das malhas, lembrando que a diferença de potencial em um resistor e em um indutor e em um capacitor é dada respectivamente por:

V R = i R                     V L = L d i d t                   V C = q C

Com isso vamos encontrar as expressões mostradas no item ( a ) .

Agora para o item ( b ) , vamos pensar no seguinte, no instante inicial quando a chave acaba de ser fechada o indutor funciona como uma interrupção no circuito, logo não temos corrente passando por ele, o capacitor não teve como se carregar e ele age como se fosse um fio, então i 2 é a mesma corrente eu em outra parte do circuito.

Tendo os valores de i 2 e q 2 , basta substituir eles nas equações da lei das malhas e nas condições iniciais e ver se os valores batem. Com isso resolvemos o item c .

Para o item ( d ) temos que achar t que faça com que i 2 seja zero, logo é só usar a equação das condições iniciais para i 2 e ir manipulando essa equação até achar o valor de t .

A equação inicial para i 2 é igual a de i 1 a não ser pelo fator 1 que temos em i 1 e por um sinal negativo que em vez de ser na exponencial é somente no termo do seno, assim:

i 2 = ε R e - β t [ - 2 ω R C - 1 sin ⁡ ω t + cos ⁡ ω t ]

Eu falo isso porque as correntes i 1 e i 2 ficam oscilando seus valores de forma igual por conta da combinação do indutor e do capacitor, sendo que i 1 é igual a zero inicialmente.

Passo 2

Vamos primeiro fazer o que é pedido em ( a ) , vamos aplicar inicialmente a lei das malhas para o caminho da corrente i 1 , temos:

ε - i 1 + i 2 R - L d i 1 d t = 0

⇒ ε = i 1 + i 2 R + L d i 1 d t

Partiu fazer isso para i 2 , temos:

ε - i 1 + i 2 R - q 2 C = 0

⇒ ε = i 1 + i 2 R + q 2 C

Passo 3

Agora, como foi dito no passo 1 o indutor funciona como uma interrupção no circuito, logo não vai passar corrente por ele nesse instante, assim i 1 = 0

O capacitor nesse primeiro instante não teve nem tempo de respirar direito, então como ele vai ter tido tempo de conseguir carga, logo q 2 = 0 .

Como o capacitor não tem carga ele não apresenta diferença de potencial, então ele não está fazendo nada ali, só como um caminho mesmo, então i 2 tem o mesmo valor que a corrente que passa pelo resistor por exemplo.

E sabemos achar a corrente no resistor, já que:

ε = i R

Então temos que:

i 2 = ε R

Passo 4

Agora que temos os valores de i 1 ,   i 2 e q vamos partir para o item ( c ) , vamos substituir nas equações do item ( a ) e ver se elas fazem sentido, temos:

ε = i 1 + i 2 R + L d i 1 d t

Substituindo i 1 = 0 e i 2 = ε / R , temos:

ε = 0 + ε R R + L 0

⇒ ε = ε

Agora a outra equação, temos:

ε = i 1 + i 2 R + q 2 C

Substituindo i 1 = 0 , i 2 = ε / R e q 2 = 0 , temos:

ε = 0 + ε R R + 0 C

⇒ ε = ε

Passo 5

Agora continuando no item ( c ) , mas agora vamos provar as condições iniciais, primeiro vamos fazer para i 1 , temos:

i 1 = ε R 1 - e - β t [ 2 ω R C - 1 sin ⁡ ω t + cos ⁡ ω t ]

Fazendo t = 0 , temos:

i 1 = ε R 1 - e - β 0 [ 2 ω R C - 1 sin ⁡ ω ⋅ 0 + cos ⁡ ω ⋅ 0 ]

⇒ i 1 = ε R 1 - e - 0 [ 2 ω R C - 1 sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0 ]

⇒ i 1 = ε R 1 - [ 2 ω R C - 1 ( 0 ) + 1 ]

Então temos que:

i 1 = 0

Que bate com o que encontramos

Passo 6

Agora vamos encontrar quando i 2 zera pela primeira vez, para isso vamos a equação que comentei no passo 1 , temos:

i 2 = ε R e - β t [ - 2 ω R C - 1 sin ⁡ ω t + cos ⁡ ω t ]

Mas antes vamos achar o valor de ω . Temos que:

ω = L C - 1 - 2 R C - 2 1 / 2

Substituindo os valores dados pelo enunciado, temos:

ω = ( 0,64 ) ( 2 ⋅ 10 - 6 ) - 1 - 2 ( 400 ) ( 2 ⋅ 10 - 6 ) - 2 1 / 2

= 781250 - 390624,9 1 / 2

Então temos que:

ω = 625   r a d / s

Agora vamos substituir esse termo que encontramos e o fato de queremos i 2 = 0 , na equação para i 2 , mas antes disso, vamos deixá-la com uma cara melhor, temos:

i 2 = ε R e - β t [ - 2 ω R C - 1 sin ⁡ ω t + cos ⁡ ω t ]

⇒ i 2 = ε R e - β t cos ⁡ ω t [ - 2 ω R C - 1 ta n ⁡ ω t + 1 ]

Queremos que isso seja igual a zero, então:

0 = ε R e - β t cos ⁡ ω t [ - 2 ω R C - 1 tan ⁡ ω t + 1 ]

Mas para que isso seja verdade, basta que:

- 2 ω R C - 1 tan ⁡ ω t + 1 = 0

Agora sim vamos substituir o que sabemos, temos que:

- 2 625 400 2 ⋅ 10 - 6 - 1 tan ⁡ 625 t + 1 = 0

⇒ tan ⁡ 625 t = 1

⇒ 625 t = 0,785

⇒ t = 1,26 ⋅ 10 - 3   s

Resposta

( a )

ε = i 1 + i 2 R + L d i 1 d t

ε = i 1 + i 2 R + q 2 C

( b )

i 1 = 0

i 2 = ε R

q 2 = 0

( c )

Tudo foi verificado e os resultados bateram

( d )

t = 1,26 ⋅ 10 - 3

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