Enunciado

79 . O potencial elétrico em uma região que está dentro de 2,00   m de origem de um sistema de coordenadas retangulares é dado por V = A x l + B y m + C z n + D , em que A , B , C , D , l , m e n são constantes. As unidades de A , B , C e D são tais que, se x , y e z estão em metros, então V está em volts. Você mede V e cada componente do campo elétrico em quatro pontos e obtém os seguintes resultados:

( a ) Use os dados na tabela para calcular A , B , C , D , l , m e n . ( b ) Determine V e o módulo de E nos pontos ( 0 ,   0 ,   0 ) , ( 0,50   m ,   0,50   m ,   0,50   m ) e ( 1,00   m ,   1,00   m ,   1,00   m ) .

Passo 1

Vem comigo que essa a gente resolve juntos!

Para encontrar as constantes pedidas em ( a ) vamos usar duas coisas, a primeira e a função de V que o enunciado nos deu junto com os valores da tabela e segundo as seguintes equações:

E x = - ∂ V ∂ x

E y = - ∂ V ∂ y

E z = - ∂ V ∂ z

Junto com os valores de E x ,   E y e E z referentes aos pontos ( x ,   y , z ) da tabela.

Para encontrar o V e o módulo de E nos pontos que o item ( b ) pede, vamos usar as constantes que encontramos na função de V e as mesmas equações que relacionam o potencial com o campo.

Tendo o valor de cada componente do campo, basta fazermos o seguinte:

E = E x 2 + E y 2 + E z 2

Vamos as contas então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Primeiro vamos avaliar a função de V em cada ponto da tabela.

1 :

V 0 ,   0 ,   0 = A 0 l + B 0 m + C 0 n + D = 10

⇒ D = 10   V

2 :

V 1 ,   0 ,   0 = A 1 l + B 0 m + C 0 n + 10 = 4

⇒ A = - 6   V / m l

3 :

V 0 ,   1 ,   0 = A 0 l + B 1 m + C 0 n + 10 = 6

⇒ B = - 4   V / m m

4 :

V 0 ,   0 ,   1 = A 0 l + B 0 m + C 1 n + 10 = 8

⇒ C = - 2   V / m n

Agora temos que encontrar os valores de l ,   m ,   n .

Passo 3

Vamos usar as equações que vimos no passo 1 . Temos que:

E x = - ∂ V ∂ x = - A l x l - 1

Usando o que achamos para A e as informações do ponto 2 , temos:

E x 1 ,   0 ,   0 = 12   V / m = - ( - 6   V / m l ) l ( 1   m ) l - 1

⇒ 12   V / m = l ( 6   V / m )

⇒ l = 2

Agora temos:

E y = - ∂ V ∂ y = - m B y m - 1

Usando o que achamos para B e as informações do ponto 3 , temos:

E y 0 ,   1 ,   0 = 12   V / m = - ( - 4   V / m m ) m ( 1   m ) m - 1

⇒ 12   V / m = m ( 4   V / m )

⇒ m = 3

E por último:

E z = - ∂ V ∂ z = - n C z n - 1

Usando o que achamos para C e as informações do ponto 4 , temos:

E z 0 ,   0 ,   1 = 12   V / m = - ( - 2   V / m n ) n ( 1   m ) n - 1

⇒ 12   V / m = n ( 2   V / m )

⇒ n = 6

Juntando tudo, temos que:

A = - 6   V / m 2

B = - 4   V / m 3

C = - 2   V / m 6

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

A nossa função de V , ficou da seguinte forma:

V = ( - 6   V / m 2 ) x 2 + ( - 4   V / m 3 ) y 3 + ( - 2   V / m 6 ) z 6 + 10   V

Agora vamos analisar essa função nos pontos que o enunciado pediu.

Primeiro ( 0 ,   0 ,   0 ) :

V ( 0 ,   0 ,   0 ) = ( - 6   V / m 2 ) ( 0 ) 2 + ( - 4   V / m 3 ) ( 0 ) 3 + ( - 2   V / m 6 ) ( 0 ) 6 + 10   V

⇒ V 0 ,   0 ,   0 = 10   V

Usando as equações para as componentes de E , temos:

E x ( 0 ,   0 ,   0 ) = - ( - 6   V / m 2 ) ( 2 ) ( 0 ) 2 - 1

⇒ E x ( 0 ,   0 ,   0 ) = 0

E y ( 0 ,   0 ,   0 ) = - ( - 4   V / m 3 ) ( 3 ) ( 0 ) 3 - 1

⇒ E y ( 0 ,   0 ,   0 ) = 0

E z ( 0 ,   0 ,   0 ) = - ( - 2   V / m 2 ) ( 6 ) ( 0 ) 6 - 1

⇒ E z ( 0 ,   0 ,   0 ) = 0

Logo temos que:

E = 0

Passo 5

Segundo ( 0,50   m ,   0,50   m ,   0,50   m ) :

V ( 0,5 ,   0,5 ,   0,5 ) = ( - 6   V / m 2 ) ( 0,5   m ) 2 + ( - 4   V / m 3 ) ( 0,5   m ) 3 + ( - 2   V / m 6 ) ( 0,5   m ) 6 + 10   V

⇒ V 0,5 ,   0,5 ,   0,5 = - 1,5   V - 0,5   V - 0,03   V + 10   V

⇒ V 0,5 ,   0,5 ,   0,5 = 7,97   V

Usando as equações para as componentes de E , temos:

E x ( 0,5 ,   0,5 ,   0,5 ) = - ( - 6   V / m 2 ) ( 2 ) ( 0,5 ) 2 - 1

⇒ E x 0,5 ,   0,5 ,   0,5 = 6   V / m

E y ( 0,5 ,   0,5 ,   0,5 ) = - ( - 4   V / m 3 ) ( 3 ) ( 0,5 ) 3 - 1

⇒ E y 0,5 ,   0,5 ,   0,5 = 3   V / m

E z ( 0,5 ,   0,5 ,   0,5 ) = - ( - 2   V / m 2 ) ( 6 ) ( 0,5 ) 6 - 1

⇒ E z 0,5 ,   0,5 ,   0,5 = 0,375   V / m

Logo temos que:

E = 6 2 + 3 2 + 0,375 2 = 6,7   V / m

Passo 6

E por último ( 1   m ,   1   m ,   1   m ) :

V ( 1 ,   1 ,   1 ) = ( - 6   V / m 2 ) ( 1   m ) 2 + ( - 4   V / m 3 ) ( 1   m ) 3 + ( - 2   V / m 6 ) ( 1   m ) 6 + 10   V

⇒ V 1 ,   1 ,   1 = - 6   V - 4   V - 2   V + 10   V

⇒ V 1 ,   1 ,   1 = - 2   V

Usando as equações para as componentes de E , temos:

E x ( 1 ,   1 ,   1 ) = - ( - 6   V / m 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 2 - 1

⇒ E x 1 ,   1 ,   1 = 12   V / m

E y ( 1 ,   1 ,   1 ) = - ( - 4   V / m 3 ) ( 3 ) ( 1 ) 3 - 1

⇒ E y 1 ,   1 ,   1 = 12   V / m

E z ( 1 ,   1 ,   1 ) = - ( - 2   V / m 2 ) ( 6 ) ( 1 ) 6 - 1

⇒ E z 1 ,   1 ,   1 = 12   V / m

Logo temos que:

E = 12 2 + 12 2 + 12 2 = 20,8   V / m

Finalmente conseguimos terminar essa questão!

Resposta

( a )

A = - 6   V / m 2

B = - 4   V / m 3

C = - 2   V / m 6

n = 2

m = 3

n = 6

( b )

Para ( 0 ,   0 ,   0 ) :

V = 10   V

E = 0

Para ( 0,50   m ,   0,50   m ,   0,50   m ) :

V = 7,97   V

E = 6,7   V / m

Para ( 1   m ,   1   m ,   1   m ) :

V = - 2   V

E = 20,8   V / m

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