Enunciado

80. Medições muito acuradas foram feitas durante a corrida olímpica de 100 metros rasos. Um modelo inteiramente realista para a velocidade do velocista é dado por

v x = a ( 1 - e - b t )

onde t está em s , v x em m / s e as constantes a e b são características do velocista. O velocista Carl Lewis, em 1987 , correu de acordo com este modelo com a = 11,81   m / s e b = 0,6887   s - 1 .

a . Qual foi a aceleração de Lewis em t = 0   s , 2,00   s e 4,00   s ?

b . Obtenha uma expressão para a distância percorrida no instante t .

c . Sua expressão para o item anterior é uma equação transcendental, o que significa que você não conseguirá resolvê-la para um t qualquer. Todavia, não é difícil obter o tempo necessário para percorrer uma distância específica por tentativa e erro. Com precisão de 0,01   s , determine o tempo gasto por Lewis para correr os 100,0   m . Seu tempo oficial era 0,01   s a mais do que sua resposta, mostrando que este modelo é muito bom, mas não perfeito.

Passo 1

Vamos lá galera!

Para encontrarmos a aceleração do velocista basta lembrarmos que:

a x = d v d t

Então basta derivarmos a função que temos da velocidade e substituir os valores que sabemos.

Para encontrarmos a expressão pedida em ( b ) temos que lembrar que:

v = d x d t

Assim temos que:

d x d t = a ( 1 - e - b t )

Então integrando essa expressão encontramos a expressão para posição.

E para o item ( c ) temos que pegar a expressão do item anterior e tentar encontrar t para x = 100   m por tentativa e erro.

Passo 2

Vamos lá então, temos o seguinte para o item ( a ) , temos:

a x = d v d t

a x = d d t a ( 1 - e - b t )

= d d t a - a e - b t

Então temos que:

a x = a b e - b t

Agora substituindo os valores que conhecemos, temos:

a x = ( 11,81 ) ( 0,6887 ) e - 0,6887 t

Agora vamos encontrar a x para t = 0   s , t = 2   s e t = 4   s .

t = 0   s :

a x = ( 11,81 ) ( 0,6887 ) e - 0,6887 ( 0 )

⇒ a x = 8,13   m / s 2

t = 2 :

a x = ( 11,81 ) ( 0,6887 ) e - 0,6887 ( 2 )

⇒ a x = 2,052   m / s 2

t = 4 :

a x = ( 11,81 ) ( 0,6887 ) e - 0,6887 ( 4 )

⇒ a x = 0,517   m / s 2

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) , temos o seguinte:

d x d t = a ( 1 - e - b t )

⇒ d x = a 1 - e - b t d t

Vamos integrar os dois lados do lado, do lado do x vamos integrar de x i = 0 a x e do lado de t vamos integrar de t i = 0 a t .

Assim, temos:

∫ 0 x d x ' = ∫ 0 t a 1 - e - b t d t '

⇒ x = ∫ 0 t a d t ' - ∫ 0 t a e - b t   d t '

Integrando temos:

x = a t ' 0 t + a b e - b t 0 t

⇒ x = a t + a b e - b t - a b

Simplificando mais um pouco temos:

x = a b ( b t + e - b t - 1 )

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) , vamos encontrar t para um x = 100   m .

Temos o seguinte:

x = a b ( b t + e - b t - 1 )

⇒ 100 = 11,81 0,6887 ( 0,6887 t + e - 0,6887 t - 1 )

⇒ 100 = 17,15 ( 0,6887 t + e - 0,6887 t - 1 )

Temos que:

5,83 = 0,6887 t + e - 0,6887 t - 1

⇒ 0,6887 t + e - 0,6887 t = 6,83

Por tentativa e erro podemos encontrar um t = 9,92   s . Tirando a prova temos:

0,6887 ( 9,92 ) + e - 0,6887 ( 9,92 ) = 6,83

6,83 = 6,83

Resposta

( a )

a x = 0,517   m / s 2

( b )

x = a b ( b t + e - b t - 1 )

( c )

t = 9,92   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um elétron possui uma aceleração constante de + 3,2m / s 2 Em um certo instante, a velocidade do elétron é + 9,6m / s . Qual é a velocidade (a) 2,5s antes e (b) 2,5s depois do instante considerado?
Quando um trem de passageiros de alta velocidade que se move a 161k m / h faz uma curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de um desvio e se
Cogumelos lançadores, alguns cogumelos lançam esporos usando um mecanismo de catapulta. Quando o vapor d'água do ar se condensa em um esporo preso de um cogumelo, uma gota se forma de um lado do espor
Você está se aproximando de um sinal de trânsito a uma velocidade v 0 = 55k m / h quando o sinal fica amarelo. O módulo da maior taxa de desaceleração de que o carro é capaz é a = 5,18m / s 2 e seu te
A F i g .2 - 24 mostra um carro vermelho e um carro verde que se movem um em direção ao outro. A F i g .2 - 25 é um gráfico do movimento dos dois carros que mostra suas posições x A o=270m e x B 0=- 3