Enunciado

80 . Uma pequena esfera imóvel carrega uma carga líquida Q . Você realiza o seguinte experimento para medir Q : lança uma pequena partícula de massa m = 4,00 × 10 - 4   k g e carga q = 5,00 × 10 - 8   C a partir de uma grande distância diretamente na direção do centro da esfera. O aparelho que você está utilizando mede a velocidade v da partícula em função da

distância x da esfera. Como a massa da esfera é muito maior que a massa da partícula projetada, você supõe que a esfera se mantém em repouso. Como todos os valores medidos de x são muito maiores que o raio dos dois objetos, você trata ambos os objetos como partículas puntiformes. Você faz um gráfico de v 2 versus ( 1 / x ) com seus dados (Figura P 23.80 ). A linha reta v 2 = 400   m 2 / s 2 - [ ( 15,75   m 3 / s 2 ) / x ] fornece um bom ajuste para os pontos dos dados. ( a ) Explique por que o gráfico é uma linha reta. ( b ) Qual é a velocidade inicial v 0 da partícula quando ela está muito longe da esfera? ( c ) Determine Q . ( d ) Qual é a distância mínima da esfera que a partícula alcança? Suponha que essa distância seja muito maior que os raios da partícula e da esfera, portanto continue tratando-as como partículas puntiformes e supondo que a esfera permanece em repouso.

Passo 1

Vem comigo que essa a gente resolve juntos!

O principal que precisamos para resolver esse exercício é a conservação de energia, dada por:

K i + U i = K f + U f

Onde a energia potencial é a energia potencial elétrica, dada por:

U = 1 4 π ϵ 0 q Q x

Como inicialmente a partícula está muito longe a energia potencial inicial pode ser considerada igual a zero, assim:

K i = K f + U f

Vamos aos itens então!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Para mostrar essa tendencia do gráfico de ser uma reta, vamos pegar a equação da conservação de energia.

K i = K f + U f

⇒ 1 2 m v 0 2 = 1 2 m v 2 + 1 4 π ϵ 0 q Q x

⇒ v 2 = v 0 2 - q Q 2 π ϵ 0 m 1 x

Chegamos em uma função de v 2 em função de 1 / x , onde temos que v 0 2 e q Q / 2 π ϵ 0 m são constantes, logo o gráfico se composta como uma reta.

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Agora vamos pegar a função da reta que se ajustou aos pontos do gráfico, temos:

v 2 = 400   m 2 / s 2 - [ ( 15,75   m 3 / s 2 ) / x ]

Compararmos com a função que encontramos no passo anterior.

v 2 = v 0 2 - q Q 2 π ϵ 0 m 1 x

Se usarmos um valor muito grande de x que significa a partícula está muito longe da esfera, temos:

v 2 = v 0 2 = 400   m 2 / s 2

⇒ v 0 = 20   m / s

Passo 4

Vamos para o item ( c ) .

Para determinar o valor de Q , vamos comparar novamente a função da reta que ajusta os pontos com a função que encontramos no passo 2 .

Fazendo isso, encontramos que:

q Q 2 π ϵ 0 m = 15,75

⇒ Q = 15,75 2 π ϵ 0 m q

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

Q = 15,75 2 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 4 × 10 - 4 ) 5 × 10 - 8

⇒ Q = 7,01 × 10 - 6   C

Passo 5

Vamos para o item ( d ) , o último!!

Para a partícula alcançar a menor distância da esfera a sua velocidade final deve ser zero. Então vamos pegar a função dada pelo enunciado igualar a zero e encontrar x para que isso seja verdade.

Temos:

400   m 2 / s 2 - ( 15,75   m 3 / s 2 ) x = 0

⇒ ( 15,75   m 3 / s 2 ) x = 400   m 2 / s 2

Assim temos que:

x = 0,039   m

Com isso finalizamos a nossa questão!

Resposta

( a )

Explicado acima.

( b )

v 0 = 20   m / s

( c )

Q = 7,01 × 10 - 6   C

( d )

x = 0,039   m

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