Enunciado

55 . Um diodo de tubo de vácuo consiste em eletrodos cilíndricos concêntricos, o cátodo negativo e o ânodo positivo. Em decorrência do acúmulo de carga perto do cátodo, o potencial elétrico entre os elétrodos é dado por

V x = C x 4 / 3

em que x é a distância até o cátodo e C é uma constante, característica de um diodo e condições de funcionamento particulares. Suponha que a distância entre o cátodo e o ânodo seja igual a 13,0   m m e a diferença de potencial entre os elétrodos seja 240   V . ( a ) Determine o valor de C . ( b ) Encontre uma fórmula para o campo elétrico entre os elétrodos em função de x . ( c ) Determine a força sobre um elétron quando ele está no ponto médio da linha reta que liga os eletrodos.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para o encontrar o valor de C podemos usar as duas informações que o enunciado nos deu, a primeira é que a diferença de potencial entre o cátodo e o ânodo é de 240   V e que a distância entre eles é de 0,013   m .

Sabendo disso podemos substituir esses valores na função de V ( x ) e achar o C .

Para encontrar uma fórmula para o campo elétrico, podemos usar a seguinte equação:

E x x = - ∂ V ∂ x

Para achar o valor da força elétrica no ponto médio, temos que primeiro achar a expressão dela nesse caso, temos que:

F ( x ) = q E ( x )

Onde E ( x ) é o campo que vamos encontrar em ( b ) .

Vamos as contas então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Temos que:

V x = C x 4 / 3

Usando que x = 0,013   m e que V = 240   V , temos:

240 = C 0,013 4 / 3

⇒ C = 7,85 × 10 4   V / m 4 / 3

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Primeiro vamos calcular a derivada de V em relação a x , temos:

∂ V ∂ x = 4 3 C x 1 / 3

Usando o valor de C que encontramos no item ( a ) , temos:

E x = - 4 3 7,85 × 10 4   V / m 4 / 3 x 1 / 3

⇒ E x = 1,05 × 10 5   V / m 4 / 3 x 1 / 3

Passo 4

Agora vamos para o último item, item ( c ) .

Temos o seguinte:

F ( x ) = q E ( x )

Usando o que achamos no item ( b ) , temos:

F ( x ) = q 1,05 × 10 5   V / m 4 / 3 x 1 / 3

Agora podemos calcular o valor de F em x = 0,0065   m para uma carga q de 1,6 × 10 - 19   C , assim:

F ( x ) = ( 1,6 × 10 - 19 ) 1,05 × 10 5   V / m 4 / 3 ( 0,0065 ) 1 / 3

⇒ F = 3,13 × 10 - 15   N

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

C = 7,85 × 10 4   V / m 4 / 3

( b )

E x = 1,05 × 10 5   V / m 4 / 3 x 1 / 3

( c )

F = 3,13 × 10 - 15   N

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