Enunciado

80 . Um próton de massa m move-se em uma dimensão. A função da energia potencial é dada por U x = α / x 2 - ( β / x ) , onde α e β são constantes positivas. O próton é libertado a partir do repouso no ponto x 0 = α / β . ( a ) Mostre que U ( x ) pode ser escrita do seguinte modo

U x = α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

Faça um gráfico de U ( x ) . Calcule U ( x 0 ) e localize o ponto x 0 no gráfico. ( b ) Calcule v ( x ) , a velocidade do próton em função da posição. Faça um gráfico de v ( x ) e forneça uma descrição qualitativa do movimento. ( c ) Para qual valor de x a velocidade do próton é máxima? Qual é o valor dessa velocidade máxima? ( d ) Qual é a força que atua sobre o próton no ponto calculado no item ( c ) ? ( e ) Em vez de considerar o ponto inicial anterior, suponha que o próton seja liberado no ponto x 1 = 3 α / β . Localize o ponto x 1 no gráfico de U ( x ) . Calcule v ( x ) e forneça uma descrição qualitativa do movimento. ( f ) Para cada ponto em que o próton

é liberado ( x = x 0 e x = x 1 ) , determine os valores máximo e mínimo de x atingidos durante o movimento.

Passo 1

Vem comigo que a gente se livra dessa questão.

Duas coisas importantes que vamos precisar nessa questão são a conservação de energia mecânica, dada por:

K + U = E T = c o n s t a n t e

E a relação entre energia potencial e uma força conservativa, dada por, na direção x :

F x = - d U x d x

A partir disso podemos encontrar o que cada item pede. Vamos fazer um de cada vez para não nos embolarmos.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Ele quer que a gente chegue em uma outra forma de escrever a energia potencial, dada no enunciado.

O que temos inicialmente é o seguinte:

U x = α x 2 - β x

E ele nos dá também que:

x 0 = α β

Vamos isolar o β nessa segunda equação, assim temos:

β = α x 0

Substituindo na primeira, temos:

U x = α x 2 - α x 0 1 x

Se isolarmos α / x 0 2 , ficamos com:

U x = α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

Prontinho, chegamos aonde ele queria.

Agora o gráfico de U ( x ) é da seguinte forma:

Passo 3

Agora o gráfico de U ( x ) é da seguinte forma:

Ele que também saber quanto vale U ( x 0 ) , assim:

U x 0 = α x 0 2 x 0 x 0 2 - x 0 x 0

= α x 0 2 1 - 1

Então temos que:

U x 0 = 0

Como mostra o gráfico.

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

Para encontrar uma expressão para v ( x ) vamos usar a conservação de energia, temos que:

K = - U

⇒ - α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x = 1 2 m v 2 ( x )

⇒ v x = - 2 m α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

O gráfico dessa função é da seguinte forma:

Olhando o gráfico vemos que o próton ganha velocidade a partir do ponto x = x 0 até atingir sua velocidade máxima depois tem uma diminuição, mas ele nunca para.

Passo 5

Agora para o item ( c ) .

Para achar a posição onde temos a velocidade máxima e o valor dessa velocidade, temos que lembrar que pela conservação de energia a energia cinética vai ser máxima quando a energia potencial for mínima.

Então temos que achar o valor de x que faz com que U ( x ) seja mínimo, para isso vamos usar o cálculo ao nosso favor, sabemos que isso irá acontecer quando:

d U d x = 0

Então:

α x 0 2 - 2 x 0 2 x 3 + x 0 x 2 = 0

⇒ - 2 x 0 2 x 3 + x 0 x 2 = 0

⇒ - 2 x 0 2 x + x 0 = 0

⇒ 2 x 0 2 x = x 0

Então temos que:

x = 2 x 0

Essa é a posição onde temos a velocidade máxima do próton.

Passo 6

Agora vamos encontrar essa velocidade máxima, temos que:

v x = - 2 m α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

⇒ v 2 x 0 = - 2 m α x 0 2 x 0 2 x 0 2 - x 0 2 x 0

= - 2 m α x 0 2 1 4 - 1 2

= - 1 m α x 0 2 1 2 - 1

Então temos que a velocidade máxima é dada por:

v m á x = α 2 m x 0 2

Passo 7

Agora vamos para o item ( d ) .

Agora ele quer a força sobre próton na posição onde temos a velocidade máxima. Sabemos que:

F = - d U d x

Só que a gente viu no item anterior que a velocidade máxima acontece quando

d U d x = 0

Então temos que F = 0 nesse ponto.

Passo 8

Vem comigo para o item ( e ) .

Para localizar o ponto x 1 basta usarmos a função U ( x ) para x = x 1 = 3 α β = 3 x 0 , assim:

U x = α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

⇒ U x 1 = α x 0 2 x 0 3 x 0 2 - x 0 3 x 0

Então temos que:

U x 1 = - 2 α 9 x 0 2

Agora vamos calcular a v ( x ) , só que agora temos uma energia potencial inicial, assim:

v x = 2 m U x 1 - U ( x )

= 2 m - 2 α 9 x 0 2 - α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

⇒ v x = 2 α m x 0 2 - x 0 x 2 + x 0 x - 2 9

Agora como a função da energia potencial não mudou a velocidade máxima ainda ocorre em x = 2 x 0 e a partícula fica confinada entre x 1 e um outro valor mínimo.

Passo 9

Agora vamos para o último, item ( f ) .

Esse item quer saber os valores de máximo e mínimo do fóton quando ele é liberado de x = x 0 e x = x 1 .

Quando o fóton é liberado x = x 0 , temos que a energia potencial é dada por:

U x = α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

Onde só tem um mínimo em x = x 0 , então ela segue até o infinito e não tem nenhuma distância máxima.

Agora quando a partícula é liberada de x = x 1 , temos que:

U x 1 - U ( x )

⇒ - 2 α 9 x 0 2 - α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

⇒ α x 0 2 - x 0 x 2 + x 0 x - 2 9

⇒ α x 0 2 x 0 x - 1 3 x 0 x - 2 3

Então temos que a energia é zero em x = 3 x 0 e em x = 3 2 x 0 , então o próton fica confinado nesse intervalo.

Resposta

( a )

Demonstrado acima.

( b )

v x = - 2 m α x 0 2 x 0 x 2 - x 0 x

( c )

x = 2 x 0

v m á x = α 2 m x 0 2

( d )

F = 0

( e )

U x 1 = - 2 α 9 x 0 2

v x = 2 α m x 0 2 - x 0 x 2 + x 0 x - 2 9

( f )

De x = x 0 até o infinito.

De x = 3 2 x 0 até x = 3 x 0 .

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