Enunciado

a) Considere U   =   5 para um sistema com uma partícula na posição x   =   0 e calcule a energia potencial do sistema como uma função da posição da partícula x . A força sobre a partícula é determinada por ( 8 e - 2 x ) i ^

b) Explique se a força é conservativa ou não conservativa e como você chegou a essa conclusão.

Passo 1

a) A gente já viu em exercícios anteriores que a relação entre força e energia potencial é dada por:

F x = - d U ( x ) d x

A gente tem dada a expressão pra força F x em função da posição x da partícula, sendo:

8 e - 2 x = - d U ( x ) d x

Passando d x pro outro lado da igualdade, a gente vai ter:

d U x = - 8 e - 2 x   d x

Agora, vamos integrar essa equação pra gente chegar a uma expressão pra energia potencial U em função da posição x . Vamos ter:

∫ d U x = ∫ - 8 e - 2 x   d x

Vamos colocar primeiro as constantes pra fora da integral, obtendo:

U x = - 8 ∫ e - 2 x   d x

Passo 2

Beleza, vamos integrar pelo método da substituição simples. Vamos denominar:

- 2 x = u

Logo

- 2   d x = d u

E, assim:

d x = - d u 2

Vamos aplicar a substituição na integral original:

U u = - 8 ∫ e u   - d u 2

Ajeitando um pouco isso...

U u = 4 ∫ e u   d u

A gente sabe que a integral de e u   d u é direta, e vale exatamente e u   . Com isso, temos:

U u = 4   e u

Vamos agora, por fim, voltar pra variável x :

∴ U x = 4   e - 2 x

Passo 3

b) Vamos verificar, em x = 0 , quanto a energia potencial U ( x ) vai valer :

U 0 = 4   e - 2 ∙ 0 = 4   e 0

U 0 = 4 ∙ 1 = 4

Pelo enunciado, U deveria valer 5 em x = 0 , mas a força que levou a partícula à posição x = 0 fez com que ela chegasse com energia potencial U = 4 .

Ou seja, gente, a partícula perdeu 1 (uma) unidade de energia no seu deslocamento, sendo então a força que a levou pra x = 0 não conservativa.

Resposta

a) U x = 4   e - 2 x

b) Não conservativa.

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