Enunciado

77 . Você está projetando um pêndulo para uma feira de ciências. O pêndulo é feito a partir da conexão de uma esfera de bronze com massa m à ponta inferior de um longo fio de metal leve de comprimento (desconhecido) L . Um dispositivo próximo ao topo do fio mede a tensão no fio e a transmite para seu notebook. Quando o fio está na vertical e a esfera está em repouso, o centro da esfera está 0,800   m acima do piso e a tensão no fio é igual a 265   N . Mantendo o fio esticado, você puxa a esfera para um lado (usando uma escada, se for preciso) e o solta suavemente. Você registra a altura h do centro da esfera a partir do piso no ponto onde a esfera foi liberada e a tensão T no fio à medida que a esfera passa por seu ponto mais baixo. Os resultados são estes:

Suponha que a esfera possa ser tratada como uma massa pontual, ignore a massa do fio e considere que a energia mecânica é conservada durante cada medição. ( a ) Desenhe o gráfico de T em função de h e use-o para calcular L . ( b ) Se a resistência de ruptura do fio for 822   N , de que altura máxima h a esfera pode ser liberada se a tensão no fio não puder ultrapassar metade da resistência de ruptura? ( c ) O pêndulo está balançando quando você saiu ao final do dia. Você tranca as portas do local e ninguém entra no prédio até que você retorne na manhã seguinte. Você encontra a esfera pendurada em repouso. Usando as considerações de energia, como poderia explicar esse comportamento?

Passo 1

Vem comigo que essa questão vai ser dominada!

O que temos aqui acaba sendo um caso de pêndulo simples onde temos a conservação de energia.

Para encontrar o comprimento L pedido no item ( a ) vamos usar a conservação de energia, onde vamos considerar o momento inicial quando a esfera é solta e o momento final quando ela passa pelo ponto mais baixo.

E vamos usar a segunda lei de Newton, já que a força resultante nesse caso é a força centrípeta e ela depende de L .

Para achar a altura h que a bola pode ser solta e que não ultrapasse a tensão de 411   N (metade da resistência de ruptura) vamos usar a expressão para T que podemos encontrar usando a segunda lei de Newton.

Vamos nessa então!

Passo 2

O grafico de T em função de h é mostrado abaixo.

Agora usando a conservação de energia temos:

K i + U i = K f + U f

Onde nesse caso teremos K i = 0 , assim:

U i = K f + U f

⇒ m g h i = 1 2 m v f 2 + m g h f

Aplicando a segunda lei de Newton para o pêndulo na posição mais baixa, temos:

T - m g = m v f 2 L

⇒ v f 2 = L T m - L g

Passo 3

Substituindo essa última equação na equação que chegamos da conservação de energia, temos:

m g h i = 1 2 m L T m - L g + m g h f

⇒ g h i = 1 2 L T m - 1 2 L g + g h f

Agora vamos isolar T , temos:

1 2 L T m = g h i + 1 2 L g - g h f

⇒ T = 2 g m L h i + m g - 2 g m L h f

⇒ T = 2 g m L h i + m g 1 - 2 L h f

Agora se compararmos essa equação com a equação do gráfico, podemos ver que T é o y e o h i é o x , então:

2 g m L = 9,293

⇒ L = 2 g m 9,293

Passo 4

O enunciado fala que a tensão do fio quando ele está na vertical e parado é igual a 265   N , quando ele está nessa situação temos que:

T = m g

Logo:

m g = 265   N

Então temos que:

L = 2 265 9,293

⇒ L = 57   m

Passo 5

Agora para a letra ( b ) .

Através da segunda lei de Newton e da conservação de energia, chegamos em:

T = 2 g m L h i + m g 1 - 2 L h f

Da equação do gráfico podemos tirar que:

2 g m L = 9,293

m g 1 - 2 L h f = 257,32

Então:

T = 9,293 h i + 257,32

Queremos saber o valore de h i para que T seja igual a 411   N , assim:

411 = 9,293 h i + 257,32

⇒ h i = 16,53   m

Essa é a altura máxima pedida em ( b )

Passo 6

Agora o último item! O item ( c ) .

O fato do pêndulo parar acontece pela perda de energia que ele sofre devido ao atrito com o ar (já que o atrito é uma força dissipativa) e o atrito no suporte onde ele oscila.

Resposta

( a )

L = 57   m

( b )

h i = 16,53   m

( c )

Explicado acima.

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