Enunciado

81. Um arqueiro parado em pé sobre uma rampa inclinada para baixo em 15 ° dispara uma flecha em um ângulo de 20 ° acima da horizontal, como mostra a FIGURA PD4.81. A que distância sobre a rampa a flecha atingirá a mesma se for disparada a 50   m / s e de 1,75   m de altura em relação ao solo

Passo 1

Tudo bem senhores!? Aqui vamos nós de novo pra mais uma questãozinha de Cinemática!

E pra resolver esse tipo de questão, já sabe né?

Primeiramente, bora fazer um esboço pra ajudar a entender melhor o nosso problema...

De modo que obtemos então, a seguinte imagem abaixo...

E pelo que sabemos dos problemas de movimento oblíquo e também do que lemos no enunciado, tiramos que...

x 0 = 0   m

y 0 = 1,75   m

t 0 = 0

v 0 = 50   m / s

v 0 x = 50 cos ⁡ 20 °   m / s

v 0 y = 50 sen ⁡ 20 °   m / s

a y = - g

Onde o objetivo aqui é encontrar a distância sobre a rampa que a flecha atingirá... no caso precisaremos de x 1 e y 1 .

Depois; por incrível que pareça, basta usar Pitágoras. É isso mesmo que você acabou de ler. Esse teorema vai acompanhar a gente até a eternidade, rs rs rs!

Por isso, mãos à obra!

Passo 2

Bom! Tomando ( 0 ) como o instante inicial do movimento da flecha, pra facilitar a nossa resolução, bora dividir o movimento dela em duas partes, vertical e horizontal...

Na horizontal, em x , nossa flecha não tem aceleração influenciando seu movimento. Sendo assim, ela executa um movimento uniforme, com velocidade constante.

Olhando pra nossa figura, ficamos então com...

x 1 = x 0 + v 0 x ( t 1 - t 0 )

E substituindo os valores numéricos de cada variável;

x 1 = 0   m + v 0 x ( t 1 )

x 1 = ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) t 1

Obtemos a equação que descreve o movimento em x ...

Passo 3

Indo agora pra direção vertical, temos nessa direção a presença da aceleração da gravidade para baixo influenciando a trajetória da flecha.

Desse modo, peguemos a equação abaixo da posição para o movimento uniformemente variado... É claro, usando as variáveis da nossa figura, né!?

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 + a y 2 ( t 1 - t 0 ) 2

Esse a y é a nossa aceleração da gravidade g , com sinal negativo porque aponta para baixo...

O que nos faz ficar com...

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 - g 2 ( t 1 - t 0 ) 2

Desse modo, substituindo os valores conhecidos...

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 - g 2 ( t 1 - t 0 ) 2

y 1 = 1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) t 1 - g 2 t 1 2

Obtemos o valor da equação que descreve o movimento vertical!

Tamo indo bem!

Passo 4

Por fim, como sabemos que a flecha atinge o solo formando um ângulo de 15 ° com a horizontal, no sentido horário, isso significa que a seguinte relação abaixo é valida...

y 1 x 1 = tan ⁡ ( - 15 ° )

O ângulo fica negativo, por causa que no sentido horário, a convenção adotada é negativa. Isso aí já é manjado, mano!

Desse modo, substituindo as equações de posição obtidas anteriormente...

y 1 x 1 = tan ⁡ ( - 15 ° )

1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) t 1 - g 2 t 1 2 ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) t 1 = tan ⁡ ( - 15 ° )

1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) t 1 - g 2 t 1 2 = ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) tan ⁡ ( - 15 ° ) t 1

1,75   m + ( 17,10   m / s ) t 1 - ( 4,91   m / s ² ) t 1 2 = - ( 12,59   m / s ) t 1

Temos a seguinte equação para resolver...

1,75 + 17,10   t 1 - 4,91 t 1 2 = - 12,59 t 1

4,91 t 1 2 - 29,69 t 1 - 1,75 = 0

Como é uma equação do 2 °   grau no formato a t 1 2 + b t 1 + c = 0 , basta usar a já conhecida fórmula abaixo...

t 1 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t 1 = - ( - 29,69 ) ± ( - 29,69 ) 2 - 4 ⋅ ( 4,91 ) ( - 1,75 ) 2 ⋅ 4,91

t 1 = 29,69 ± 910,1611 2 ⋅ 4,91   s

t 1 = 3,023 ± 3,082   s

t 1 ≅ - 0,059   s

t 1 ≅ 6,11   s

E uma vez que só trabalhamos com tempo positivo, então...

t 1 ≅ 6,11   s

Passo 5

Obtido o tempo total do lançamento da flecha, basta substituir esse tempo t 1 nas nossas duas fórmulas de espaço...

Bora lá... Primeiro para x 1 ;

x 1 = ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) t 1

x 1 = ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) ( 6,11   s )

x 1 ≅ 287,0   m

E depois para y 1 :

y 1 = 1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) t 1 - g 2 t 1 2

y 1 ≅ 1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) ( 6,11   s ) - 9,81   m / s ² 2 ( 6,11   s ) 2

y 1 ≅ - 77,0   m

Feito isso! Como foi falado anteriormente... Uma vez que o lançamento foi feito em uma rampa triangular... Para descobrir a distância ∆ s percorrida pela flecha sobre a rampa, basta usar Pitágoras;

∆ s = x 1 2 + y 1 2

∆ s = ( 287,0   m ) 2 + ( - 77,0   m ) 2

∆ s ≅ 297,0   m

E voilà! Terminamos aqui!

Resposta

∆ s ≅ 297,0   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um jogador chuta uma bola de futebol com velocidade inicial cujo componente vertical é 12,0 m/s e o componente horizontal é 20,0 m/s. Despreze a resistência do ar. (a) Quanto tempo a bola leva para at
A cigarra Philaenus spumarius mantém o recorde mundial de saltos de insetos. Ao saltar em um ângulo de 58,0º acima da horizontal, algumas das pequenas cigarras alcançaram uma altura máxima de 58,7 cm
Um jogador de beisebol bate uma bola de forma que ela abandona o bastão com velocidade de 30,0 m/s, formando um ângulo de 36,9º acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. (a) Ache os dois inst
Uma grande quantidade de sementes é observada, e seus ângulos de lançamento são registrados. Descobriu-se que o intervalo dos ângulos de projeção é de 51º a 75º, com uma média de 31º. Aproximadamente
Algumas plantas dispersam suas sementes quando o fruto se parte e contrai, propelindo- -as pelo ar. A trajetória dessas sementes pode ser determinada com uma câmera de alta velocidade. Em um experimen